《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

8. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$AQ = PQ$,$PR \perp AB$于点$R$,$PS \perp AC$于点$S$,$PR = PS$,则下列结论:①点$P$在$\angle BAC$的角平分线上;②$AS = AR$;③$QP // AR$;④$\triangle BRP \cong \triangle QSP$.其中,正确的有

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 8.D　解析:
∵△ABC是等边三角形，
PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,
∴P在∠BAC的平分线上，故①正确;
由①可知,PB=PC,∠B=∠C,PS=PR,
∴△BPR≌△CPS,
∴BR=CS,
∴AS=AR,故②正确;
∵AQ=PQ,
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,
∴PQ//AR,故③正确;
由③得,△PQC是等边三角形,
∴△PQS≌△PCS,
又由②可知,△BRP≌△QSP,故④也正确,
∴①②③④都正确。

9. “线段、角、有一个角是$30^{\circ}$的直角三角形、等边三角形”这四个图形中,对称轴最多的图形是等边三角形.

答案： 9.等边三角形

10. 如果点$P(m,3)$与点$Q(-5,n)$关于$y$轴对称,则$m + n$的值为8.

答案： 10.8

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,$DE \perp AB$,垂足为点$E$,若$BC = 4$,$DE = 1.6$,则$BD$的长为2.4.

答案： 11.2.4

12. 如图,点$P$为$\angle AOB$内的一点,分别作出$P$点关于$OA$,$OB$的对称点$P_1$,$P_2$,连接$P_1P_2$,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$,$P_1P_2 = 15$,则$\triangle PMN$的周长为15.

答案： 12.15

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$N$,交$AC$于点$M$,$\angle B = 70^{\circ}$,则$\angle NMA =$50$^{\circ}$.

答案： 13.50

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC = AC = 12\ cm$,现有两点$M$,$N$分别从点$A$,$B$同时出发,沿三角形的边运动.已知点$M$的速度为$1\ cm/s$,点$N$的速度为$2\ cm/s$.设点$M$,$N$运动$16\ s$后停止运动,则其中运动3或4.8或15$s$时,$\triangle AMN$为直角三角形.

答案：
14.3或4.8或15
解析:当t=16s时，点N的运动路程为16×2=32(cm),点M的运动路程为16×1=16(cm)。
当点N在AB上,M在AC上运动时，此时0＜t≤6。
如图①,若∠AMN=90°,

由条件可知AN=12 - 2t,
∴∠ANM=30°,
∴2AM=AN,即2t=12 - 2t,解得t=3。
如图②,若∠ANM=90°,

由条件可知∠AMN=30°,
∴2AN=AM,即2(12 - 2t)=t,解得t=4.8。
当6＜t≤12时,N,M都在AC上,此时A,M,N不能构成三角形。
若点M,N在BC上运动，如图③，

当点N位于BC中点处时，
此时AN⊥BC,即△AMN是直角三角形，
则有2t=12 + 12 + 6,解得t=15,此时CM=3。
综上，当M,N运动3,4.8,15秒时，可得到直角三角形AMN。

15. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,点$D$是边$AB$上的中点,且$AD = DC$,$\angle B = 30^{\circ}$.
求证:$\triangle ADC$是等边三角形.

答案： 15.证明:
∵点D是AB的中点,
∴AD=DB
又
∵AD=DC
∴DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°,
∴∠ADC=∠DCB+∠B=30°+30°=60°,
又
∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形。