《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19. (6分)已知 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且满足 $ a^2 + b^2 - 4a - 8b + 20 = 0,c = 3 $,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： 19.解：
∵$a^2 + b^2 - 4a - 8b + 20 = 0，$
∴$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 8b + 16 = 0，$
∴$(a - 2)^2 + (b - 4)^2 = 0，$
又
∵$(a - 2)^2 ≥ 0,(b - 4)^2 ≥ 0，$
∴a - 2 = 0,b - 4 = 0,
∴a=2,b=4，
∴△ABC的周长为a + b + c=2 + 4 + 3=9.

20. (12分)从边长为 $ a $ 的正方形中减掉一个边长为 $ b $ 的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是a^2 - b^2=(a + b)(a - b);
(2)若 $ 9x^2 - 16y^2 = 30,3x + 4y = 6 $,求 $ 4y - 3x $ 的值;
(3) $ (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) ·s (1 - \frac{1}{99^2})(1 - \frac{1}{100^2}) $.

答案： 20.解：
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是
$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)；$
$ (2)9x^2 - 16y^2=30，$
∴(3x + 4y)(3x - 4y)=30，
∵3x + 4y=6,
∴3x - 4y=5,
∴4y - 3x=-5；
$ (3)(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) ·s (1 - \frac{1}{99^2})(1 - \frac{1}{100^2})$
$ =(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4})$
$ ·s (1 - \frac{1}{99})(1 + \frac{1}{99})(1 - \frac{1}{100})(1 + \frac{1}{100})$
$ =\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × ·s × \frac{98}{99} × \frac{100}{99} × \frac{99}{100} × \frac{101}{100}$
$ =\frac{1}{2} × \frac{101}{100}$
$ =\frac{101}{200}$