《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19.(6分)我们在解题时, 经常会遇到“数的平方”问题, 你有简便算法吗? 这里, 我们以“两位数的平方”为例, 请观察下列各式的规律, 回答问题：
$27^2 = (27 + 7) × 20 + 7^2 = 729$,
$32^2 = (32 + 2) × 30 + 2^2 = 1024$,
$56^2 = (56 + 6) × 50 + 6^2 = 3136$,
请根据上述规律填空：$38^2 =$(38+8)×30+8^{2}$=$1444;
我们知道, 任何一个两位数(个位上数字为$n$, 十位上的数字为$m$)都可以表示为$10m + n$, 根据上述规律写出：$(10m + n)^2 =$(10m+n+n)×10m+n^{2}, 并用所学知识说明你的结论的正确性.

答案： 19.
(1)解：$38^{2}=(38+8)×30+8^{2}=1444；$
(2)解：$(10m+n)^{2}=(10m+n+n)×10m+n^{2}；$
证明：
∵$(10m+n)^{2}=(10m)^{2}+2×10m×n+n^{2}$
$=100m^{2}+20mn+n^{2}$
$(10m+n+n)×10m+n^{2}=100m^{2}+20mn+n^{2}$
∴$(10m+n)^{2}=(10m+n+n)×10m+n^{2}.$

20.(8分)将完全平方公式$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$进行适当变形, 可以解决很多数学问题.例如：若$a - b = 3$,$ab = 1$,求$a^2 + b^2$的值.
解：因为$a - b = 3$,所以$(a - b)^2 = 9$,即$a^2 - 2ab + b^2 = 9$.又因为$ab = 1$,所以$a^2 + b^2 = 11$.
根据上面的解题思路与方法, 解决下列问题：
(1)简单应用：若$x + y = 10$,$x^2 + y^2 = 60$,求$xy$的值；
(2)实际应用：如图,$M$是$AG$的中点,$B$是$AG$上的一点.分别以$AB$,$BG$为边, 作正方形$ABCD$和正方形$BGFE$.连接$MD$和$MF$.设$AB = a$,$BG = b$,且$a + b = 8$,$ab = 15$.求阴影部分的面积；
(3)拓展应用：若$(2025 - m)^2 + (m - 2020)^2 = 85$,求$(2025 - m)(m - 2020)$的值.

答案： 20.解：
(1)
∵$x+y=10,x^{2}+y^{2}=60，$
∴$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy，$
∴$10^{2}=60+2xy$
解得xy=20；
(2)
∵M是AG的中点，AB=a,BG=b,且a+b=8，ab=15，
∴$AM=MG=\frac{a+b}{2}=4，$
由题可知：阴影部分的面积=正方形ABCD的面积+正方形BGFE的面积-△DAM的面积-△MGF的面积，
∴阴影部分的面积$=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}×4×a-\frac{1}{2}×4×b$
$=(a+b)^{2}-2ab-2×(a+b)$
$=8^{2}-2×15-2×8$
=18；
(3)设2025-m=a,m-2020=b,则a+b=5
∵$(2025-m)^{2}+(m-2020)^{2}=85，$
∴$a^{2}+b^{2}=85$
∴(2025-m)(m-2020)=ab
$=[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]÷2$
=(25-85)÷2
=-30.