《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$C(4,4)$,点$B,A$分别在$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上,$\angle ACB=90^{\circ}$,则$OA+OB$等于8.

答案： 10.8

11. (8分)已知$CE=DF$,$AF=BE$,$CE\perp AB$,$DF\perp AB$.
求证:$AC=BD$.

答案： 11.证明:
∵AF=BE,
　
∴AF−EF=BE−EF,即AE=BF,
　
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
　
∴∠AEC=∠BFD=90°,
　　　　在△ACE和△BDF中，$\begin{cases}AE=BF,\\∠AEC=∠BFD,\\CE=DF,\end{cases}$
　
∴△ACE≌△BDF(SAS),
　
∴AC=BD.

12. (8分)如图,王庆为了测量一栋居民楼的高度$AB$,借助高为8米的竹竿$CD$,在空地选定一点$P$,使得点$P$到楼的距离$BP$等于竹竿$CD$的高度.图中各点均在同一平面内,王庆测得$\angle APB=70^{\circ}$,$\angle CPD=20^{\circ}$,竹竿与楼之间的距离$BD=29$米.请根据测量数据计算楼的高度$AB$.

答案： 12.解:
∵∠C+∠CDP+∠CPD=180°,
　　　∠CPD=20°,∠CDP=90°,
∴∠C=70°,
∴∠C=∠APB,
　　　在△CDP和△PBA中，$\begin{cases}∠CDP=∠PBA,\\CD=PB,\\∠DCP=∠BPA,\end{cases}$
∴△CDP≌△PBA(ASA),
∴DP=BA
∵BD=29米,PB=CD=8米,
∴DP=DB−PB=29−8=21米,
∴BA=21米.

13. (12分)如图,已知$BD$是$\angle ABC$的平分线,$AB=CB$,点$P$在$BD$上,$PM\perp AD$,$PN\perp CD$,垂足分别是$M,N$.
求证:$PM=PN$.

答案： 13.证明:
∵BD是∠ABC的平分线，
　
∴∠ABD=∠CBD,
　　　　在△ABD和△CBD中，$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
　
∴△ABD≌△CBD(SAS),
　
∴∠ADB=∠CDB,
　　　　即∠MDP=∠NDP,
　　　　又
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
　
∴∠PMD=∠PND=90°,
　　　　在△PDM和△PDN中，$\begin{cases}∠MDP=∠NDP,\\∠PMD=∠PND=90°,\\PD=PD,\end{cases}$
　
∴△PDM≌△PDN(AAS).
　
∴PM=PN.

14. (12分)如图所示,在$\triangle ABC$中,$BE$是$\angle ABC$的平分线,$AD\perp BE$,垂足为$D$.
求证:$\angle 2=\angle 1+\angle C$.

答案：
14.证明:如图所示，延长AD交BC于点F.
　
∵AD⊥BE,
　
∴∠ADB=∠FDB=90°,
　
∵BE是∠ABC的平分线，
　
∴∠ABD=∠FBD.
　　　　在△ABD和△FBD中，$\begin{cases}∠ABD=∠FBD,\\BD=BD,\\∠ADB=∠FDB,\end{cases}$
　
∴△ABD≌△FBD(ASA)
　
∴∠2=∠DFB,
　
∵∠DFB=∠1+∠C,
　
∴∠2=∠1+∠C.