《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

1.(5分)问题1:两点之间的最短路径.
任务:在纸上任意画两点A,B,探索连接它们的最短路径.

答案： 连接A、B两点，得到线段AB。
结论：两点之间，线段最短。

2.(5分)问题2:点到直线的最短路径.
任务:在直线l外有一点P,找出P到l的最短路径.

答案： 1. 过点P作直线l的垂线，垂足为Q。
2. 线段PQ即为点P到直线l的最短路径。
结论：点P到直线l的最短路径是垂线段PQ。

3.(20分)利用轴对称法研究两定点到定直线上一动点的最短路径.
问题1:在一条笔直的乡村公路两侧有两个村庄A,B,乡政府计划在这条公路上修建一个公交站(点P),为方便两村居民乘车往来,要求A村和B村到公交站的距离之和最小.

问题2:在一条笔直的乡村公路同侧有两个村庄A,B,乡政府计划在这条公路上修建一个公交站(点P),为方便两村居民乘车往来,要求A村和B村到公交站的距离之和最小.

答案： 问题1：
连接A，B两点，线段AB与直线l交于点P，点P即为所求公交站位置。
问题2：
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，线段A'B与直线l交于点P，点P即为所求公交站位置。

4.(30分)A为马厩,B为帐篷,某一天牧民要从马厩牵出马,先到草地边某处牧马,再到河边饮马,最后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短行走路线.(在图①上保留作图痕迹,不写作法)

思考1:如图②,若将马厩和帐篷合并为一个地点,即牧民从家中出发,最后回到家中,请你帮他确定这一天的最短行走路线.
思考2:如图③,上述问题若增加条件“牧民沿草地边走a米,沿河边走b米”,其他条件不变,请你帮他确定这一天的最短行走路线.

答案： 原题图①最短路线：
作点A关于草地边的对称点A'，点B关于河边的对称点B'，连接A'B'，分别交草地边于点P，河边于点Q，路线为A→P→Q→B。
思考1图②最短路线：
作该点关于草地边的对称点A'，关于河边的对称点A''，连接A'A''，分别交草地边于点P，河边于点Q，路线为A→P→Q→A。
思考2图③最短路线：
将点A沿草地边方向平移a米得点A₁，点B沿河边反方向平移b米得点B₁，连接A₁B₁，交草地边于点R，河边于点Q；在草地边上，从R沿反方向平移a米得点P，路线为A→P→R→Q→B。