《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

16. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$DE \perp AB$于点$E$，点$F$在$BC$上，连接$DF$，且$AD = DF$。
(1) 求证：$CF = AE$；
(2) 若$AE = 1$，$BF = 3$，求$AB$的长。

答案： 16.
(1)证明:
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB
∴DC=DE，∠AED=90°
在Rt△CDF与Rt△EDA中，$\begin{cases} DF = AD, \\ DC = DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDA(HL)
∴CF=AE
(2)解:由
(1)得CF=AE=1，DC=DE
∴BC=BF+CF=3+1=4
∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°
在Rt△BCD和Rt△BED中，$\begin{cases} BD = BD, \\ DC = DE, \end{cases}$
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)
∴BE=BC=4
∴AB=BE+AE=4+1=5

17. （8分）如图，某巡逻船上午11时30分在$A$处巡逻，观测到岛礁$B$在北偏东$60^{\circ}$的方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行到$C$处，观测岛礁$B$在北偏东$30^{\circ}$，继续以相同速度向正东方向航行到$D$处时，再观测到岛礁$B$在北偏西$30^{\circ}$。当巡逻船到达$C$处时，恰与岛礁$B$相距20海里，请你分别确定该巡逻船从$A$处到达$C$处和$D$处所用的时间。

答案： 17.解:
∵在A处观测岛礁B在北偏东60°方向
∴∠BAC=30°
∵C处观测岛礁B在北偏东30°方向
∴∠BCD=60°
∴∠CBA=∠BAC=30°，
∴AC=BC
∵D处观测岛礁B在北偏西30°方向
∴∠BDC=60°
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=CD
∵BC=20海里
∴AC=CD=BC=20海里
∴船从A处到达C处所用的时间为20÷10=2(小时)，船从C处到达D处所用的时间为20÷10=2(小时)，船从A处到达D处所用的时间为4小时

18. （10分）如图，在$\triangle ABC$中，$DM$，$EN$分别垂直平分$AC$和$BC$，交$AB$于$M$，$N$两点，$DM$与$EN$的延长线相交于点$F$。
(1) 若$\triangle CMN$的周长为15cm，求$AB$的长；
(2) 若$\angle MFN = 70^{\circ}$，求$\angle MCN$的度数。

答案： 18.解:
(1)
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC
∴AM=CM，BN=CN
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB
∵△CMN的周长为15cm
∴AB=15cm
(2)
∵∠MFN=70°
∴∠MNF+∠NMF=180° - 70°=110°
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF
∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°
∴∠A+∠B=90° - ∠AMD+90° - ∠BNE
=180° - 110°=70°
∵AM=CM，BN=CN
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN
∴∠MCN=180° - 2(∠A+∠B)
=180° - 2×70°=40°