《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19. (10 分) 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD \perp BC $ 于点 $ D $, $ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $, $ \angle ABC = 64^{\circ} $, $ \angle AEB = 70^{\circ} $.
(1) 求 $ \angle CAD $ 的度数;
(2) 若点 $ F $ 为线段 $ BC $ 上的任意一点, 当 $ \triangle EFC $ 为直角三角形时, 求 $ \angle BEF $ 的度数.

答案：
19.解:
(1)
∵BE平分∠ABC,∠ABC=64°,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=32°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵∠C=∠AEB−∠EBC=70°−32°=38°,
∴∠CAD=90°−∠C=90°−38°=52°;
(2)分两种情况:
①当∠EFC=90°时,如图①所示,
∠BEF=90°−∠EBC=58°;
②当∠FEC=90°时,如图②所示,
∠BEF=∠EFC−∠EBC=90°−∠C−∠EBC=20°.
综上所述，∠BEF的度数为58°或20°.

20. (12 分) 如图①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = \angle C = 45^{\circ} $, 点 $ D $ 在 $ BC $ 边上, 点 $ E $ 在 $ AC $ 边上, 连接 $ DE $, 且 $ \angle ADE = \angle AED $.
(1) 当 $ \angle BAD = 60^{\circ} $ 时, 求 $ \angle CDE $ 的度数;
(2) 当点 $ D $ 在 $ BC $ (点 $ B,C $ 除外) 边上运动时, 试猜想 $ \angle BAD $ 与 $ \angle CDE $ 的数量关系, 并说明理由;
(3) 如图②, 若 $ \angle B = \angle C $, 但 $ \angle C \neq 45^{\circ} $, 其他条件不变, 试探究 $ \angle BAD $ 与 $ \angle CDE $ 的数量关系.

答案：
(1)
∵∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°。
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°。
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-30°)/2=75°。
∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+60°=105°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°。
(2) ∠BAD=2∠CDE。理由如下：
设∠BAD=x，则∠DAE=90°-x。
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-(90°-x))/2=45°+x/2。
∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=(45°+x)-(45°+x/2)=x/2，即∠BAD=2∠CDE。
(3) ∠BAD=2∠CDE。理由如下：
设∠B=∠C=α，∠BAD=x，则∠BAC=180°-2α，∠DAE=∠BAC-x=180°-2α-x。
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-(180°-2α-x))/2=α+x/2。
∵∠ADC=∠B+∠BAD=α+x，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=(α+x)-(α+x/2)=x/2，即∠BAD=2∠CDE。
答案：
(1) 30°；
(2) ∠BAD=2∠CDE；
(3) ∠BAD=2∠CDE。