《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

11. (8分)如图，$\angle E=\angle F=90^{\circ}$，$AE=AF$，$AC=AB$，求证：$\angle 1=\angle 2$.

答案： 11.证明:在Rt△AEB和Rt△AFC中，$\begin{cases}AB = AC,\\AE = AF,\end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△AFC(HL),
∴∠EAB=∠FAC,
即:∠1+∠CAB=∠2+∠CAB,
∴∠1=∠2.

12. (8分)如图，在点$A$，$C$，$D$，$B$在同一直线上，且$AC=BD$，$\angle A=\angle B$，$\angle E=\angle F$.
(1)求证：$\triangle ADE≌\triangle BCF$；(2)若$\angle BCF=75^{\circ}$，求$\angle CMD$的度数.

答案： 12.
(1)证明:
∵AC=BD,
∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC.
在△ADE和△BCF中，$\begin{cases}∠E = ∠F,\\∠A = ∠B,\\AD = BC,\end{cases}$
∴△ADE≌△BCF(AAS);
(2)解:
∵△ADE≌△BCF,
∴∠BCF=∠ADE,
∵∠BCF=75°,
∴∠ADE=∠BCF=75°.
∵∠CMD=180°−∠BCF−∠ADE
∴∠CMD=30°.

13. (12分)李明同学遇到这样一个问题：如图$AB=CD$，$BC=AD$，请说明$\angle A=\angle C$.他动手测量了一下，发现$\angle A=\angle C$，但他不明白其中的道理，你能帮帮他吗？

答案：
13.解:能.连接BD.
在△ABD和△CDB中，$\begin{cases}AB = CD,\\AD = CB,\\BD = DB,\end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠A=∠C.

14. (12分)如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$E$是$AD$上一点，$AD=BD$，$BE=AC$.求证：(1)$\angle 1=\angle C$；(2)$BE\perp AC$.

答案：
14.证明:
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDE=90°,
在Rt△ADC和Rt△BDE中，$\begin{cases}AC = BE,\\AD = BD,\end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL),
∴∠1=∠C.
(2)如图，延长BE与AC交于点M,
∵∠1=∠AEM,∠1=∠C,
∴∠AEM=∠C,
又
∵∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,
∴∠AEM+∠CAD=90°,
∴∠AME=180°−(∠AEM+∠CAD)=90°,
∴BE⊥AC.