《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

17. (5分)如图,在正方形 $ ABCD $ 中,若面积 $ S_{矩形AEOH}=12 $,周长 $ C_{矩形OFCG}=16 $,求 $ S_{正方形EBFO}+S_{正方形HOGD} $ 的值.

答案： 17.解:由题意得,EO·OH=12,2(OF+OG)=16,EO=OF,OH=OG
∴$EO^2+OH^2=(EO+OH)^2-2EO·OH=40$
∴S正方形EBFO+S正方形HOGD=40.

18. (8分)观察下列式子的因式分解做法:
① $ x^{2}-1=(x - 1)(x + 1) $;
② $ x^{3}-1=(x - 1)(x^{2}+x + 1) $;
③ $ x^{4}-1=(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1) $.
(1)模仿以上做法,尝试对 $ x^{5}-1 $ 进行因式分解: $ x^{5}-1= $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1);
(2)观察以上结果,猜想 $ (x - 1)(x^{n}+·s+x^{3}+x^{2}+x + 1)= $x^{n+1}-1;( $ n $ 为正整数,直接写结果,不用验证)
(3)试求 $ 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9} $ 的值.

答案： 18.解$:(1)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1);$
$(2)x^{n+1}-1;$
(3)
∵$(x-1)(x^n+…+x^3+x^2+x+1)=x^{n+1}-1,$
∴$2^{10}-1=(2-1)(2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)$
∴$2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1=2^{10}-1=1023.$