《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

20. (6分)如图,在$△ABC$中,$D$是$BC$的中点,$DE⊥AB$于点$E,DF⊥AC$于点$F,BE=CF$.
(1)求证:$AD$平分$∠BAC$;
(2)连接$EF$,求证:$AD$垂直平分$EF$.

答案： 20.证明:
(1)
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
　
∴∠BED=∠CFD=90°,
　
∵点D是BC的中点，
　
∴BD=CD,
　　　　　又
∵BE=CF,
　
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
　
∴DE=DF,
　
∴点D在∠BAC的平分线上，
　
∴AD平分∠BAC;
(2)
∵Rt△BDE≌Rt△CDF,
　
∴∠B=∠C,
　
∴AB=AC,
　
∵BE=CF,
　
∴AB−BE=AC−CF,
　
∴AE=AF,
　　　　　又
∵DE=DF,
　
∴AD垂直平分EF.

21. (8分)如图,在等腰直角$△ABC$中,$CA=CB,∠ACB=90^{\circ },∠CAB=∠CBA=45^{\circ }$.点$D$在$BA$的延长线上,连接$CD$;过点$C$作$CE⊥CD$,使$CE=CD$,连接$BE$,
(1)求证:$AB⊥BE$;
(2)若点$N$为$BD$的中点,连接$CN,AE$.求证:$AE=2CN$.

答案：
21.证明:
(1)
∵CE⊥CD,
　
∴∠DCA+∠ACE=90°,
　
∵∠ACB=90°,
　
∴∠BCE+∠ACE=90°,
　
∴∠DCA=∠BCE,
　
∵CA=CB,CE=CD,
　
∴△ADC≌△BEC(SAS),
　
∴∠DAC=∠EBC,
　　　　　又
∵∠CAB=∠CBA=45°,
　
∴∠DAC=90°+45°=135°,
　
∴∠EBC=∠EBD+45°,
　
∴∠EBD=90°,
　
∴AB⊥BE;
(2)如图，延长CN到点G,使得CN=NG，连接DG，
　
∵CN=NG,∠CNB=∠GND,DN=NB,
　
∴△CNB≌△GND(SAS),
　
∴DG=CB,∠CBN=∠GDN,
　
∴DG//CB,
　
∴∠CDG=180°−∠DCB=90°−∠DCA,
　
∵∠ACE=90°−∠DCA,
　
∴∠CDG=∠ACE,
　
∵AC=BC,DG=CB,
　
∴DG=AC,
　
∵DG=AC,DC=CE,∠ACE=∠CDG,
　
∴△CDG≌△ECA(SAS),
　
∴AE=CG,
　
∴AE=2CN.
　　　　　

22. (8分)如图,在$△ABC$中,$∠A=60^{\circ },BD,CE$是$△ABC$的两条角平分线,且$BD,CE$交于点$F$,用等式表示$BE,BC,CD$这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
李亮通过观察、实验,提出猜想:$BE+CD=BC$,他发现先在$BC$上截取$BM$,使$BM=BE$,连接$FM$,再利用三角形全等的判定和性质证明$CM=CD$即可.
(1)下面是李亮证明该猜想的部分思路,请补充完整:
①在$BC$上截取$BM$,使$BM=BE$,连接$FM$,则可以证明$△BEF$与$△$BMF全等,判定它们全等的依据是SAS;
②由$∠A=60^{\circ },BD,CE$是$△ABC$的两条角平分线,可以得出$∠EFB=$60$^{\circ }$;
(2)请直接利用①,②已得到的结论完成证明猜想$BE+CD=BC$的过程.

答案： 22.
(1)①BMF SAS
②60
(2)证明:由①知,∠BFE=60°,
　
∴∠CFD=∠BFE=60°,
　
∵△BEF≌△BMF,
　
∴∠BFM=∠BFE=60°,
　
∴∠CFM=∠BFC−∠BFM=120°−60°=60°,
　
∴∠CFD=∠CFM=60°,
　
∵CE是∠ACB的平分线，
　
∴∠FCM=∠FCD,
　　　　在△FCM和△FCD中,
　　　　　{
　　　　　∠CFM=∠CFD,
　　　　　CF=CF,
　　　　　∠FCM=∠FCD,
　　　　　}
　
∴△FCM≌△FCD(ASA),
　
∴CM=CD,
　
∴BC=CM+BM=CD+BE,
　
∴BE+CD=BC.