《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

21. (6分)对于任意的正整数$n$,代数式$n(n + 7)-(n + 3)(n - 2)$的值总能被6整除,试说明理由.

答案： 21.解：
∵n(n+7)-(n+3)(n-2)
=n²+7n-(n²-2n+3n-6)
=n²+7n-n²+2n-3n+6
=6n+6
=6(n+1)
∴对于任意的正整数n，代数式
n(n+7)-(n+3)(n-2)的值总能被6整除.

22. (10分)阅读下列材料:利用完全平方公式,将多项式$x^{2}+bx + c$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式,然后由$(x + m)^{2}\geqslant0$就可求出多项式$x^{2}+bx + c$的最小值.
例:求多项式$x^{2}-4x + 5$的最小值.
解:$x^{2}-4x + 5 = x^{2}-4x + 4 + 1=(x - 2)^{2}+1$.因为$(x - 2)^{2}\geqslant0$,所以$(x - 2)^{2}+1\geqslant1$当$x = 2$时,$(x - 2)^{2}+1 = 1$,因此$(x - 2)^{2}+1$有最小值,最小值为1,即$x^{2}-4x + 5$的最小值为1.
通过阅读,理解材料的解题思路,请解决以下问题:
(1)【理解探究】已知代数式$A = x^{2}+8x + 7$.求$A$的最小值;
(2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地,已知甲菜地的两边长分别是$(5a + 1)$米,$(2a + 2)$米,乙菜地的两边长分别是$(3a + 8)$米,$(3a - 2)$米.试比较这两块菜地的面积$S_{甲}$和$S_{乙}$的大小,并说明理由;
(3)【拓展升华】如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8\ cm$,$BC = 16\ cm$,点$M$,$N$分别是线段$AC$和$BC$上的动点,点$M$从点$A$出发以$1\ cm/s$的速度向点$C$运动.同时,点$N$从点$C$出发以$2\ cm/s$的速度向点$B$运动,当其中一点到达终点时,两点同时停止运动.设运动的时间为$t$(单位:$s$),则当$t$的值为多少时,$\triangle MCN$的面积最大?最大值为多少?

答案： 22.解：
(1)A=x²+8x+7=(x+4)²-9
∴A的最小值为-9；
(2)S甲-S乙=(5a+1)(2a+2)-(3a+8)(3a-2)
=10a²+10a+2a+2-(9a²-6a+24a-16)
=a²-6a+18
=(a-3)²+9
∴S甲-S乙的最小值为9，恒大于零，
综上所述：S甲＞S乙；
(3)由题意知：AM=t,CN=2t
∵∠C=90°，
∴S△MCN=$\frac{1}{2} × 2t × (8-t)=t · (8-t)=8t-t^{2}$
=-(t-4)²+16
当t=4时，S有最大值，即Smax=16.