《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

21. 在四边形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ BC $ 边中点. 已知: 如图, 若 $ AE $ 平分 $ \angle BAD $, $ \angle AED = 90^{\circ} $, 点 $ F $ 为 $ AD $ 上一点, $ AF = AB $.
求证: (1) $ \triangle ABE \cong \triangle AFE $;
(2) $ AD = AB + CD $.

答案： 21.证明:
(1)
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE,
在△ABE和△AFE中，
$\begin{cases}AB=AF,\\∠BAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(SAS);
(2)由
(1)知,△ABE≌△AFE,
∴EB=EF、∠AEB=∠AEF,
∵∠BEC=180°,∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠DEC=∠DEF,
∵点E为BC的中点，
∴EB=EC,
∴EF=EC,
在△ECD和△EFD中，
$\begin{cases}EC=EF,\\∠DEC=∠DEF,\\ED=ED,\end{cases}$
∴△ECD≌△EFD(SAS),
∴DC=DF,
∵AD=AF+DF,AB=AF,
∴AD=AB+CD.

22. 陈红遇到这样一个问题: 如图①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 12 $, $ AC = 8 $, $ AD $ 是中线, 求 $ AD $ 的取值范围. 她的做法是: 过点 $ B $ 作 $ BE // AC $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $, 证明 $ \triangle BED \cong \triangle CAD $, 经过推理和计算就可以使问题得到解决.
按照上面的思路, 请回

答:
(1) 陈红证明 $ \triangle BED \cong \triangle CAD $ 的判定定理是ASA或AAS;
(2) $ AD $ 的取值范围是2＜AD＜10;
(3) 方法运用: 如图②, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线, 在 $ AD $ 上取一点 $ F $, 连接 $ BF $ 并延长交 $ AC $ 于点 $ E $, 使 $ AE = EF $, 求证: $ BF = AC $.

答案：
22.解:
(1)ASA或AAS,理由如下:
∵AD是中线，
∴BD=CD,
又
∵∠ADC=∠BDE,
∵BE//AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD,
∴△BED≌△CAD(ASA),
或△BED≌△CAD(AAS);
(2)2＜AD＜10,理由如下:
∵△BED≌△CAD,
∴BE=AC=8,
在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB+BE,
∴4＜2AD＜20,
∴2＜AD＜10;
(3)过点B作BG//AC交AD的延长线于点G，
则∠CAD=∠BGD
∵AD是中线，
∴BD=CD,
在△ADC和△GDB中，
∵∠CAD=∠BGD,∠ADC=∠GDB,BD=CD,
∴△ADC≌△GDB(AAS),
∴BG=CA,
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠AFE,
又
∵∠CAD=∠BGD,∠AFE=∠BFG,
∴∠BGD=∠BFG,
∴BG=BF,
又
∵BG=CA,
∴BF=AC.