《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

11. （8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线l，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AD=2CD。

答案：
11.
(1)解:斜边AB的垂直平分线l,如图即为所求;

(2)证明:连接BD,在△ABC中，
∠C=90°,∠A=30°,直线l垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠ABD=∠A=30°
∵∠C=90°
∴∠ABC=90°−30°=60°
∴∠DBC=30°
∴$CD=\frac{1}{2}×BD=\frac{1}{2}×AD$,即AD=2CD

12. （8分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E。若∠E=30°，AD=AE。求证：△ABC为等边三角形。

答案： 12.证明:
∵AD=AE
∴∠E=∠ADE=30°
∴∠CAB=∠E+∠ADE=30°+30°=60°
∵DF⊥BC
∴∠EFC=90°
∴∠C=90°−∠E=60°
∴∠B=180°−∠C−∠CAB=180°−60°−60°=60°
∴∠C=∠B=∠CAB
∴△ABC为等边三角形

13. （12分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE//BC交AB于点E。
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由。

答案： 13.
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠C=60°
∵DE//BC
∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°
∴△ADE是等边三角形
(2)解:$AE=\frac{1}{2}AB$,理由如下:
∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵BD⊥AC交AC于点D
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$
∵△ADE是等边三角形
∴AE=AD
∴$AE=\frac{1}{2}AB$

14. （12分）如图，在△ABC中，以AB为边作等边三角形ABD（点C，D在边AB的同侧），连接CD。若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数。

答案： 14.解:
∵△ABD是等边三角形
∴∠BAD=60°,AB=AD
∵∠BAC=30°
∴∠CAD=60°−30°=30°
在△CBA与△CDA中，$\begin{cases}AB = AD,\\ ∠BAC = ∠DAC,\\ AC = AC.\end{cases}$
∴△CBA≌△CDA(SAS)
∴∠ADC=∠ABC=90°
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=90°−60°=30°