《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

15. 如图,点$ A $,$ B $,$ C $,$ D $在同一直线上,$ EC // FD $,$ \angle EAC = \angle FBD $,$ AB = CD $.
(1) 求证:$ \triangle ACE \cong \triangle BDF $;
(2) 若$ \angle FBD = 36^{\circ} $,$ \angle D = 80^{\circ} $,求$ \angle E $的度数.

答案： 15.
(1)证明:
∵EC//FD,
　
∴∠ACE=∠D,
　
∵AB=CD,
　
∴AB+BC=CD+BC,
　
∴AC=BD,
　　　　　在△ACE和△BDF中,$\begin{cases}∠ACE=∠D,\\AC=BD,\\∠EAC=∠FBD,\end{cases}$
　
∴△ACE≌△BDF(ASA);
(2)解:
∵∠FBD=36°,∠D=80°,
　
∴∠F=180°−∠FBD−∠D=180°−36°−80°=64°,
　
∵△ACE≌△BDF,
　
∴∠E=∠F=64°,
　
∴∠E的度数为64°.

16. 如图,点$ D $是$ \triangle ABC $的$ BC $边上的中点,$ DE \perp AC $,$ DF \perp AB $,垂足分别为$ E $,$ F $,且$ DE = DF $.那么$ \triangle ABC $是等腰三角形吗? 如果是,请说明理由.

答案： 16.解:△ABC是等腰三角形，
　理由:
∵点D是△ABC的BC边上的中点，
　
∴BD=CD,
　
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
　
∴∠DFB=∠DEC=90°,
　　　　在Rt△BFD和Rt△CED中,$\begin{cases}BD=CD,\\DF=DE,\end{cases}$
　
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),
　
∴∠B=∠C,
　
∴AB=AC,
　
∴△ABC是等腰三角形.

17. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ DE $是$ AC $的垂直平分线,$ AE = 3\mathrm{cm} $,$ \triangle ABD $的周长为$ 13\mathrm{cm} $,求$ \triangle ABC $的周长.

答案： 17.解:
∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴EC=AE=3cm,AD=DC,
　　　又
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+AD+BD=13cm,
∴$C_{\triangle ABC}$=AB+BD+DC+AE+EC
　　　　　　=AB+BD+AD+AE+EC
　　　　　　=13+6=19(cm),
　　　即△ABC的周长为19cm.

18. 如图,在四边形$ ABCD $中,$ AB // CD $,$ \angle 1 = \angle 2 $,$ DB = DC $,$ \angle A = 135^{\circ} $,$ \angle BDC = 30^{\circ} $,求$ \angle BCE $的度数.

答案： 18.解:
∵AB//CD,
∴∠ABD=∠BDC=30°,
∴∠A=135°,
　　　在△ABD中，
　　　∠1=180°−∠A−∠ABD=180°−135°−30°=15°,
∵∠BDC=30°,DB=DC,
∴∠DCB=∠DBC=75°,∠2=∠1=15°,
∴∠BCE=∠DCB−∠2=60°.

19. 如图,在所给正方形网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直尺画图,保留作图痕迹):
(1) 求出$ \triangle ABC $(顶点均在格点上)的面积;
(2) 作出$ \triangle ABC $关于直线$ DE $对称的$ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $;
(3) 在$ DE $上作出点$ Q $,使$ \triangle QAB $的周长最小.

答案：
19.
(1)$S_{\triangle ABC}$=3×3−$\frac{1}{2}$×1×3−$\frac{1}{2}$×1×2−$\frac{1}{2}$×2×3=3.5;
(2)如图所示;
(3)如图所示