《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

8. 如图,$\triangle DEF$的面积为1,且$AD = DC$,$BE = 2CE$,$DF = 3BF$,则$\triangle ABC$的面积为

A.3
B.$\frac{11}{3}$
C.4
D.$\frac{13}{3}$

答案： 8.C 解析：
∵AD=DC,BE=2CE,DF=3BF，
∴点D是线段AC的中点，点E是线段BC的三等分点，点F是线段BD的四等分点，
∵$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3},\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2},BD$是中线，
设点E到BD的距离为h₁，
∴$\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle DEF}}=\frac{\frac{1}{2}BF· h₁}{\frac{1}{2}DF· h₁}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}，$
∵△DEF的面积为1，
∴$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle DEF}=\frac{1}{3}，$
∴$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle DEF}+S_{\triangle BEF}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}，$
设点D到BC的距离为h₂，
∴$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{\frac{1}{2}BE· h₂}{\frac{1}{2}CE· h₂}=\frac{BE}{CE}=2，$
∴$S_{\triangle CDE}=\frac{S_{\triangle BDE}}{2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}，$
∴$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDE}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2，$
∵BD是△ABC的中线，
∴$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BCD}=2×2=4.$

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BCD = 30^{\circ}$,$\angle ACB = 80^{\circ}$,$CD$是边$AB$上的高,$AE$是$\angle CAB$的平分线,则$\angle AEB$的度数是100°.

答案： 9.100°

10. 如图,$OA = OB$,$OC = OD$,$\angle O = 50^{\circ}$,$\angle D = 35^{\circ}$,则$\angle AEC =$60°.

答案： 10.60°

11. 如图,$AD$和$CE$分别是$\triangle ABC$的两条高,且$AD = 3$,$CE = 6$,若$AB = 4$,则$BC$的长是8.

答案： 11.8

12. 如图,将纸片$\triangle ABC$沿$DE$折叠,使点$A$落在点$F$处,已知$\angle 1 + \angle 2 = 100^{\circ}$,则$\angle A =$50°.

答案： 12.50°

13. 如图,点$P$是$\triangle ABC$的三个内角平分线的交点,若$\triangle ABC$的周长为24 cm,面积为36 cm²,则点$P$到边$BC$的距离是3 cm.

答案： 13.3 cm

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle 1 = 100^{\circ}$,$\angle C = 80^{\circ}$,$\angle 2 = \frac{1}{2}\angle 3$,$BE$平分$\angle ABC$,则$\angle 4 =$45°.

答案： 14.45° 解析：
∵∠1=100°,∠C=80°，
∴∠3=20°,
∴∠2=10°，
∴∠ABC=70°,
∴∠EBA=35°，
∴∠4=∠2+∠EBA=45°.

15. (6分)如图,已知$AB = AE$,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle B = \angle E$.求证:$BC = ED$.

答案： 15.证明：
∵∠1=∠2，
∠EAD=∠2+∠BAD,∠BAC=∠1+∠BAD，
∴∠EAD=∠BAC，
在△ABC和△AED中，$\begin{cases}∠B=∠E,\\AB=AE,\\∠EAD=∠BAC,\end{cases}$
∴△ABC≌△AED(ASA),
∴BC=ED.

16. (6分)如图,$AB = CD$,$AD = BC$.求证:$\angle A = \angle C$.

答案： 16.证明：连接BD,在△ABD和△CDB中，$\begin{cases}AB=CD,\\AD=CB,\\BD=DB,\end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠A=∠C.