《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

16. (6分)先化简,再求值:$(a + 1 - \frac{5 + 2a}{a + 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a + 1}$,其中$a = \sqrt{9} + | - 2 | - (\frac{1}{2})^{-1}$.

答案： 16. 解：原式$=\frac{(a + 1)^2 - (5 + 2a)}{a + 1} · \frac{a + 1}{(a + 2)^2}$
$=\frac{a^2 + 2a + 1 - 5 - 2a}{a + 1} · \frac{a + 1}{(a + 2)^2}$
$=\frac{a^2 - 4}{(a + 2)^2} · \frac{a + 1}{a + 1}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 2)^2}$
$=\frac{a - 2}{a + 2}$，
$\because a = \sqrt{9} + | - 2 | - (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 - 2 = 3$，
$\therefore$原式$=\frac{3 - 2}{3 + 2} = \frac{1}{5}$.

17. (8分)解方程:
(1) $\frac{2x}{x - 2} = 1 - \frac{1}{2 - x}$;
(2) $\frac{7}{x^2 + x} + \frac{1}{x^2 - x} = \frac{6}{x^2 - 1}$.

答案： 17. 解：
(1)方程两边同乘$(x - 2)$，得$2x = x - 2 + 1$.
解得$x = -1$.
检验：当$x = -1$时，$x - 2 \neq 0$.
所以原分式方程的解为$x = -1$.
(2)方程两边同乘$x(x + 1)(x - 1)$
得$7(x - 1) + (x + 1) = 6x$，解得$x = 3$.
检验：当$x = 3$时，$x(x + 1)(x - 1) \neq 0$，所以$x = 3$是原分式方程的解.

18. (6分)学校在某商场购买甲、乙两种不同品牌的足球,购买甲种足球共花费$2000$元,购买乙种足球共花费$1400$元,购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的$2$倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花$20$元.购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元?

答案： 18. 解：设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x + 20)$元，可得：$\frac{2000}{x} = 2 × \frac{1400}{x + 20}$，解得$x = 50$，
经检验$x = 50$是原分式方程的解，且符合题意.
一个乙种足球：$x + 20 = 50 + 20 = 70$.
答：购买一个甲种足球需$50$元，购买一个乙种足球需$70$元.

19. (6分)为推进垃圾分类,推动绿色发展,某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.已知用$360$万元购买甲型机器人的台数和用$480$万元购买乙型机器人的台数相同,两种型号机器人的单价和为$140$万元.甲型机器人每台多少万元?

答案： 19. 解：设甲型机器人每台$x$万元，
根据题意可得：$\frac{360}{x} = \frac{480}{140 - x}$，解得$x = 60$.
检验：当$x = 60$时，$x(140 - x) \neq 0$.
所以原分式方程的解为$x = 60$，且符合题意.
答：甲型机器人每台$60$万元.