《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

16. (8分)如图,在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中,$\angle BAC = \angle DAE = 90°$,$AB = AC$,$AD = AE$,点$C$,$D$,$E$三点在同一直线上,连接$BD$.
(1) 求证:$\triangle BAD \cong \triangle CAE$;
(2) 试猜想$BD$,$CE$有何特殊位置关系,并证明.

答案： 16.
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
　
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
　　　　　　即∠BAD=∠CAE,
　　　　　　又
∵AB=AC,AD=AE,
　
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)解:BD,CE特殊位置关系为BD⊥CE.
　　　　证明如下:由
(1)知△BAD≌△CAE,
　
∴∠ADB=∠E.
　
∵∠DAE=90°,
　
∴∠E+∠ADE=90°.
　
∴∠ADB+∠ADE=90°.
　　　　　即∠BDE=90°.
　
∴BD,CE特殊位置关系为BD⊥CE.

17. (8分)课间,李明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两堆砖块之间,如图所示.
(1) 求证:$\triangle ADC \cong \triangle CEB$;
(2) 已知$DE = 35\mathrm{cm}$,请你帮李明求出砖块的厚度$a$的大小.(每块砖的厚度相同)

答案： 17.
(1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,
　　　　　　AD⊥DE,BE⊥DE,
　
∴∠ADC=∠CEB=90°,
　　　　　　∠ACD+∠BCE=90°,
　
∵∠ACD+∠CAD=90°,
　
∴∠BCE=∠CAD.
　　　　　　在△ADC和△CEB中，$\begin{cases} ∠ADC = ∠CEB, \\ ∠CAD = ∠BCE, \\ AC = CB, \end{cases}$
　
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)解:由题意得AD=4a,BE=3a,
　　　　由
(1)知△ADC≌△CEB,
　
∴DC=BE=3a,CE=AD=4a,
　
∴DE=DC+CE=7a.
　
∵DE=35cm,
　
∴a=5cm.

18. (9分)如图,在四边形$ABDC$中,$\angle D = \angle B = 90°$,$O$为$BD$的中点,且$AO$平分$\angle BAC$.
求证:(1)$CO$平分$\angle ACD$;
(2)$OA \perp OC$;
(3)$AB + CD = AC$.

答案：
18.证明:
(1)如图，作OF⊥AC于点F.
　　　　　　又
∵AO平分∠BAC,∠B=90°,
∴OB=OF.
　
∵O为BD的中点，
∴OB=OD,
∴OF=OD.
　　　　　　又
∵OF⊥AC,∠D=90°,
∴CO平分∠ACD.
(2)
∵∠D=∠B=90°,
∴AB//CD,
　
∴∠BAC+∠DCA=180°.
　
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,
　
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACD,
　
∴∠OAC+∠OCA=90°,
　
∴∠AOC=90°,
∴OA⊥OC.
(3)在Rt△ABO和Rt△AFO中，$\begin{cases} OA = OA, \\ OB = OF, \end{cases}$
　
∴Rt△ABO≌Rt△AFO(HL),
∴AB=AF.
　　　　　　同理可证CD=CF,
　
∴AB+CD=AC.