《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19. (10分)如图,点$C$是线段$AB$上除点$A$,$B$外的任意一点,分别以$AC$,$BC$为边在线段$AB$的同旁作等边三角形$ACD$和等边三角形$BCE$,连接$AE$交$DC$于点$M$,连接$BD$交$CE$于点$N$,连接$MN$.
(1)求证:$AE = BD$;
(2)请判断$\triangle CMN$的形状,并说明理由.

答案： 19.
(1)证明:
∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,
∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:△CMN为等边三角形,理由如下:
∵由
(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A,C,B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
$\begin{cases}∠MAC=∠NDC,\\AC=DC,\\∠ACM=∠DCN,\end{cases}$
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△CMN为等边三角形。

20. (12分)如图①,在等边三角形$ABC$中,点$D$是$AB$边上的动点,以$CD$为一边,向上作等边三角形$EDC$,连接$AE$.
(1)$\triangle BCD$和$\triangle ACE$全等吗?请说明理由.
(2)求证:$AE // BC$.
(3)如图②,将图①中的动点$D$运动到边$BA$的延长线上,所作的$\triangle EDC$仍为等边三角形,请问此时$AE // BC$吗?证明你的猜想.

答案： 20.解:
(1)△BCD≌△ACE。
理由:
∵△ABC,△EDC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=∠ECD=60°,EC=DC,
∵∠ACD=∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)由
(1)知△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB,
∴AE//BC;
(3)AE//BC。
证明:
∵△ABC、△EDC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=∠ECD=60°,EC=DC,
∵∠ACD=∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB,
∴AE//BC。