《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19. (6分)如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD的延长线于点F,且BC=DC.
求证:BE=DF.

答案： 19.证明:
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD的延长线于点F,
　
∴EC = FC,∠CEB = ∠F = 90°,　　　　　　　　　2分
　　　　在Rt△BCE和Rt△DCF中,
　　　　$\begin{cases} BC = DC, \\ EC = FC, \end{cases}$
　　　　Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),　　　　　　　　　　　5分
　
∴BE = DF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

20. (6分)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.
(1)求证:BD=CE;
(2)若AD=DE=BD,求∠B的度数.

答案： 20.
(1)证明:过点A作AF⊥BC于点F.　　　　　　　　　　1分
　
∵AB = AC,AD = AE,
　
∴BF = CF,DF = EF,
　
∴BD = CE;　　　　　　　　　　　　　　　　　3分
(2)解:
∵AD = DE = AE,
　
∴△ADE是等边三角形，　　　　　　　　　　　4分
　
∴∠DAE = ∠ADE = 60°.
　
∵AD = BD,
∴∠DAB = ∠B,
　
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠ADE = 30°.　　　　　　　　　　　　6分

21. (6分)如图,已知D是AC上一点,AB=AD,AB+DC=DE,AE=BC.
(1)求证:∠EAD=∠B;
(2)若∠BAE=127°,求∠ACB的大小.

答案： 21.
(1)证明:
∵AB = AD,AB + DC = DE,
　
∴AD + DC = DE,
　　　　　又AD + DC = AC,
　
∴DE = AC,
　　　　　在△DAE和△ABC中,
　　　　　$\begin{cases} DA = AB, \\ DE = AC, \\ AE = BC, \end{cases}$
　
∴△DAE≌△ABC(SSS),　　　　　　　　　2分
　
∴∠EAD = ∠B.　　　　　　　　　　　　　　3分
(2)解:
∵∠EAD = ∠B,∠BAE = 127°,
　
∴∠CAB + ∠B = ∠CAB + ∠EAD = ∠BAE = 127°,4分
　
∴∠ACB = 180° - (∠CAB + ∠B) = 180° - 127° = 53°,
　
∴∠ACB = 53°.　　　　　　　　　　　　　　　　6分

22. (10分)
(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E. 求证:DE=BD+CE;
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,若α=120°,且△ACF为等边三角形,试判断△DEF的形状,并说明理由.

答案： 22.证明:
(1)
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
　
∴∠BDA = ∠CEA = 90°,　　　　　　　　　　1分
　
∵∠BAC = 90°,
　
∴∠BAD + ∠CAE = 90°,
　
∵∠BAD + ∠ABD = 90°,
　
∴∠CAE = ∠ABD,
　　　　　在△ADB和△CEA中,
　　　　　$\begin{cases} \angle ABD = \angle CAE, \\ \angle BDA = \angle AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
　
∴△ADB≌△CEA(AAS),　　　　　　　　　3分
　
∴AE = BD,AD = CE,
　
∴DE = AE + AD = BD + CE;　　　　　　　　4分
(2)成立，理由如下:
　
∵∠BDA = ∠BAC = α,
　
∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α,
　
∴∠CAE = ∠ABD,
　　　　　在△ADB和△CEA中,
　　　　　$\begin{cases} \angle ABD = \angle CAE, \\ \angle BDA = \angle AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
　
∴△ADB≌△CEA(AAS),　　　　　　　　　6分
　
∴AE = BD,AD = CE,
　
∴DE = AE + AD = BD + CE,
　　　　　即DE = BD + CE成立;　　　　　　　　　　　7分
(3)△DEF为等边三角形,理由如下:
　　　　　由
(2)知△ADB≌△CEA,BD = AE,
　　　　　∠DBA = ∠CAE,
　
∵△ACF为等边三角形，
　
∴∠CAF = 60°,AF = AC,
　　　　　又
∵AB = AC,
∴AB = AF,
　
∵∠BAC = 120°,
　
∴∠BAF = 60°,
　
∴△ABF是等边三角形，　　　　　　　　　　8分
　
∴∠ABF = 60°,BF = AF,
　
∴∠DBA + ∠ABF = ∠CAE + ∠CAF,
　
∴∠DBF = ∠EAF,　　　　　　　　　　　　　9分
　　　　　在△BDF和△AEF中，
　　　　　$\begin{cases} BF = AF, \\ \angle DBF = \angle EAF, \\ BD = AE, \end{cases}$
　
∴△BDF≌△AEF(SAS),
　
∴DF = EF,∠BFD = ∠AFE,
　
∴∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠DFA + ∠BFD = 60°,
　
∴△DEF为等边三角形.　　　　　　　　　　10分