《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

19. (12分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.
(1) 若∠C=70°,∠B=40°,求∠DAE的度数;
(2) 若∠C - ∠B=30°,求∠DAE的度数;
(3) 若∠C - ∠B=a(∠C＞∠B),求∠DAE的度数.(用含a的代数式表示)

答案： 19.解：
(1)由题意，可得
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-70°=20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°；
(2)由AE平分∠BAC可知∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=
$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)，
∠CAD=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD
=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)-(90°-∠C)
=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)
=$\frac{1}{2}$×30°
=15°；
(3)由
(2)中可知∠DAE=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，
∵∠C-∠B=a，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}a$.

20. (12分)现有一张△ABC纸片,点D,E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.
研究(1):如果折成图①的形状,使点A落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是∠1=2∠A;
研究(2):如果折成图②的形状,猜想∠1 + ∠2与∠A的数量关系是∠1+∠2=2∠A;
研究(3):如果折成图③的形状,猜想∠1,∠2和∠A的数量关系,并说明理由.

答案： 20.解：
(1)∠1=2∠A，理由是：
由折叠图①得∠A=∠DA'A，
∵∠1=∠A+∠DA'A，
∴∠1=2∠A；
(2)猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：
由折叠图②得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED，
∵∠ADB+∠AEC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A'DE-∠AED-
∠A'ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A；
(3)猜想：∠2-∠1=2∠A，理由是：
∵∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A'+∠1，
∴∠2=∠A'+∠A+∠1，
∵∠A=∠A'，
∴∠2=2∠A+∠1，
∴∠2-∠1=2∠A.