《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

例 2
[教材第 85 页例 4 变式]
计算：
$(1) 6(x^{2}y - xy) - 3(2x^{2}y - xy + 1)；$
$(2) 6×[(-\frac{1}{3})^{2}× 2 - (-\frac{1}{3})× 2] - 3×[2×(-\frac{1}{3})^{2}× 2 - (-\frac{1}{3})× 2 + 1]；$
$(3) 6×[(-2)^{2}× b - (-2)× b] - 3×[2×(-2)^{2}× b - (-2)× b + 1].$
思路点拨
将(2)与(1)比较,可以发现,将(1)中的字母 x,y 分别用$ -\frac{1}{3},2 $代入可得(2),于是只需将(1)的化简结果中的字母 x,y 分别用$ -\frac{1}{3},2 $代入,即可得(2)的结果,这样能大大减少运算量.类似地,只要将(1)的化简结果中的字母 x,y 分别用 -2,b 代入,即可得(3)的结果.
解
$(1) 6(x^{2}y - xy) - 3(2x^{2}y - xy + 1)$
$\begin{aligned}$
$&= 6x^{2}y - 6xy - 6x^{2}y + 3xy - 3\\$
&= -3xy - 3.
$\end{aligned} (2) $将等式①中的 x 用$ -\frac{1}{3},y $用 2 代入,则$\begin{aligned}&6×[(-\frac{1}{3})^{2}× 2 - (-\frac{1}{3})× 2] - 3×[2×(-\frac{1}{3})^{2}× 2 - (-\frac{1}{3})× 2 + 1]\\=& -3×(-\frac{1}{3})× 2 - 3\\= & 2 - 3\\=& -1.\end{aligned} $
(3) 将等式①中的 x 用 -2,y 用 b 代入,则
$\begin{aligned}$
$&6×[(-2)^{2}× b - (-2)× b] - 3×[2×(-2)^{2}× b - (-2)× b + 1]\\$
= & -3×(-2)× b - 3\\
=& 6b - 3.
$\end{aligned} $

答案：
(1)
$6(x^{2}y - xy) - 3(2x^{2}y - xy + 1)$
$= 6x^{2}y - 6xy - 6x^{2}y + 3xy - 3$
$= -3xy - 3$
(2)
将$x = -\frac{1}{3}$，$y = 2$代入$-3xy - 3$得：
$-3×(-\frac{1}{3})×2 - 3$
$= 2 - 3$
$= -1$
(3)
将$x = -2$，$y = b$代入$-3xy - 3$得：
$-3×(-2)× b - 3$
$= 6b - 3$

2. (1) 计算：$4x^{2} - (3y^{2} - 7xy) + 2(y^{2} - 2x^{2})$；
(2) 将(1)中 $x$,$y$ 分别取 $-\frac{1}{3}$ 和 $-3$,求(1)的值；
(3) 将(1)中 $x$,$y$ 分别取 $m$ 和 $-1$,求(1)的值.

答案： 解：
(1)原式$=4x^{2}-3y^{2}+7xy+2y^{2}-4x^{2}=-y^{2}+7xy$①.
(2)将等式①中的$x$用$-\frac{1}{3}$,$y$用-3代入，则原式$=-(-3)^{2}+7×(-\frac{1}{3})×(-3)=-9+7=-2$.
(3)将等式①中的$x$用$m$,$y$用-1代入，则原式$=-(-1)^{2}+7×m×(-1)=-1-7m$.