《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

例 用代入消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}2x + 5y = -21①\\x + 3y = 8②\end{cases} $；(2)$\begin{cases}2x - 7y = 8①\\3x - 8y = 10②\end{cases} $。
思路点拨 观察方程组,将其中未知数系数较简单的方程变形,代入另一个方程求解。
(1)
$\begin{cases}2x + 5y = -21①\\x + 3y = 8②\end{cases} $；
未知数 $x$ 的系数为 1,宜将方程②变形

(2)未知数 $x$ 的系数最小,宜将方程①变形

$\begin{cases}2x - 7y = 8①\\3x - 8y = 10②\end{cases} $。
解 (1)将方程②移项,得 $x = 8 - 3y③$。
变形(用含一个未知数的代数式表示另一个未知数)
把③式代入方程①,得
代入(代入另一个方程,消去一个未知数)
$2(8 - 3y) + 5y = -21$。
解得 $y = 37$。→求解(求出一个未知数的值)
把 $y$ 用 37 代入③式,得 $x = -103$。
回代(代入变形后的方程,求出另一个未知数的值)
因此,$\begin{cases}x = -103\\y = 37\end{cases} $是原二元一次方程组的解。
写解(用$\begin{cases}x =… \\y =… \end{cases} $表示方程组的解)
(2)将方程①移项、两边都除以 2,得
$x = \frac{8 + 7y}{2}③$。
把③式代入方程②,得
$\frac{3(8 + 7y)}{2} - 8y = 10$。
解得 $y = -\frac{4}{5}$。
把 $y$ 用 $-\frac{4}{5}$ 代入③式,得
$x = \frac{6}{5}$。
因此,$\begin{cases}x = \frac{6}{5}\\y = -\frac{4}{5}\end{cases} $是原二元一次方程组的解。
易错提示 求出方程组的解后,要注意把解代入原方程组的两个方程进行检验,避免出错。

答案：
(1)
解：由方程②得$x = 8 - 3y$ ③，
把③代入①得$2(8 - 3y)+5y = - 21$，
$16-6y + 5y=-21$，
$-y=-21 - 16$，
$-y=-37$，
解得$y = 37$。
把$y = 37$代入③得$x=8-3×37=8 - 111=-103$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = - 103\\y = 37\end{cases}$。
(2)
解：由方程①得$2x=8 + 7y$，即$x=\frac{8 + 7y}{2}$ ③，
把③代入②得$3×\frac{8 + 7y}{2}-8y = 10$，
方程两边同乘以$2$得$3(8 + 7y)-16y = 20$，
$24+21y-16y = 20$，
$21y-16y=20 - 24$，
$5y=-4$，
解得$y=-\frac{4}{5}$。
把$y = -\frac{4}{5}$代入③得$x=\frac{8+7×(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{8-\frac{28}{5}}{2}=\frac{\frac{40 - 28}{5}}{2}=\frac{\frac{12}{5}}{2}=\frac{6}{5}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{6}{5}\\y = -\frac{4}{5}\end{cases}$。

1. 解二元一次方程组 $\begin{cases}x + 7y = -19\\x - 5y = 17\end{cases} $,用代入消元法消去 $x$,得到的方程是( )。

A.$2y = -2$
B.$2y = -36$
C.$12y = -2$
D.$12y = -36$

答案： D

2. 二元一次方程组 $\begin{cases}x + 2y = 5\\y - 2x = 0\end{cases} $ 的解是______。

答案： {x=1,y=2}

3. 用代入消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}y - 2x = -6①\\4x + 3y = 2②\end{cases} $；
(2)$\begin{cases}3x - 2y = 2①\\9x + 8y = 20②\end{cases} $。

答案： 3.解:
(1)将方程①移项,得y=2x-6③.把③式代入方程②,得4x+3(2x-6)=2.解得x=2.把x用2代入③式,得y=-2.因此,{x=2,y=-2}是原二元一次方程组的解.
(2)将方程①移项、两边都除以2,得y=(3x-2)/2③.把③式代入方程②,得9x+8×(3x-2)/2=20.解得x=4/3.把x用4/3代入③式,得y=1.因此,{x=4/3,y=1}是原二元一次方程组的解.