《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

14. 观察下列等式,解答问题：
$1 + 8 = 3^{2}$,
$1 + 8 + 16 = 5^{2}$,
$1 + 8 + 16 + 24 = 7^{2}$,
$1 + 8 + 16 + 24 + 32 = 9^{2}$,
……
根据已知等式,可归纳出第$n$个等式为______.(n是正整数)

答案： 1+8+16+…+8n=(2n+1)² 提示：等式左边是1和8的倍数连续相加，等式右边是连续奇数的平方.

15. (每小题8分,共16分)
(1) 当$a = \frac{1}{3}$时,求代数式$(5a^{2}+2a + 1)-4(3 - 8a + 2a^{2})+(3a^{2}-a)$的值.
(2) 先计算$5a^{2}+2ab - 3b^{2}-ab + 3b^{2}-5a^{2}$,再将$a$,$b$分别取-3和$\frac{1}{3}$求值.

答案：
(1)原式=5a²+2a+1-12+32a-8a²+3a²-a=33a-11.当a=1/3时，原式=33×1/3-11=0.
(2)原式=(5a²-5a²)+(2ab-ab)+(-3b²+3b²)=ab①.将等式①中的a用-3，b用1/3代入，则原式=-3×1/3=-1.

16. (12分)已知关于$x$,$y的多项式(4x^{2}+ax - y + 6)-(2bx^{2}-2x + y - 1)的值与字母x$的取值无关,求代数式$\frac{1}{3}a^{3}-2b^{2}-2(-\frac{1}{3}a^{3}+b^{2})$的值.

答案： 解：(4x²+ax-y+6)-(2bx²-2x+y-1)=4x²+ax-y+6-2bx²+2x-y+1=(4-2b)x²+(a+2)x-2y+7.因为该多项式的值与字母x的取值无关，所以4-2b=0，a+2=0，即b=2，a=-2.当a=-2，b=2时，1/3a³-2b²-2(-1/3a³+b²)=1/3a³-2b²+2/3a³-2b²=a³-4b²=(-2)³-4×2²=-8-16=-24.