《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

5. [教材第91页复习题2第14题变式]
已知关于$x的多项式x^{2}+mx + nx^{2}-3x + 1的值与x$无关。
(1)求$m$,$n$的值。
(2)先化简,再求值：$-2(mn - m^{2})-\left[2n^{2}-(4m + n^{2})+2mn\right]$。

答案： 5.解:
(1)x²+mx+nx²-3x+1=(n+1)x²+(m-3)x+1.由多项式的值与x无关,得n+1=0,m-3=0.解得m=3,n=-1.
(2)原式=-2(mn - m²)-[2n²-(4m + n²)+2mn]=-2mn+2m²-(2n²-4m-n²+2mn)=-2mn+2m²-2n²+4m+n²-2mn=2m²-n²+4m-4mn.当m=3,n=-1时,原式=2×3²-(-1)²+4×3-4×3×(-1)=18-1+12+12=41.

例4 [教材第91页复习题2第11题变式]小明在做“计算$17x^{2}-(8x^{2}+5x)-(3x^{2}+x - 3)+(-5x^{2}+6x - 1)-3$的值,其中$x = - 2025$”这道题时,把“$x = - 2025$”错抄成了“$x = 2025$”,但他计算的结果却是正确的。请你解释说明原因。
思路点拨 将多项式进行化简后,再根据化简结果说明原因。
解 原式$=17x^{2}-8x^{2}-5x - 3x^{2}-x + 3 - 5x^{2}+6x - 1 - 3 = x^{2}-1$。
因为当$x = - 2025和x = 2025$时,$x^{2}-1$的值相等,
所以小明将“$x = - 2025$”错抄成“$x = 2025$”,计算的结果也是正确的。

答案： 原式$ = 17x^{2} - (8x^{2} + 5x) - (3x^{2} + x - 3) + (-5x^{2} + 6x - 1) - 3$
去括号后：
$ = 17x^{2} - 8x^{2} - 5x - 3x^{2} - x + 3 - 5x^{2} + 6x - 1 - 3$
合并同类项：
$ = (17 - 8 - 3 - 5)x^{2} + (-5 - 1 + 6)x + (3 - 1 - 3)$
$ = x^{2} - 1$
当 $x = -2025$ 和 $x = 2025$ 时，由于 $x^{2}$ 的值相同（即 $(-2025)^{2} = 2025^{2}$），所以 $x^{2} - 1$ 的值也相同。
因此，小明将 $x = -2025$ 错抄成 $x = 2025$ 后，计算的结果仍然是正确的。

6. 学习了整式的加减运算后,老师给同学们布置了一道课堂练习题：
已知$a = - 2$,$b = 2025$,求代数式$(3a^{2}b - 2ab^{2}+4a)-2(2a^{2}b - 3a)+2\left(ab^{2}+\frac{1}{2}a^{2}b\right)-1$的值。
盈盈做完后对同桌说：“这道题不给$b$的值,照样可以求出结果。”你认为盈盈的说法正确吗？请说明理由,并求出多项式的值。

答案： 6.解:正确.理由:原式=3a²b-2ab²+4a-4a²b+6a+2ab²+a²b-1=10a-1.因为化简结果中不含字母b,所以最后的结果与b的取值无关.所以盈盈的说法正确.当a=-2时,原式=10×(-2)-1=-21.