《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

6. [数学文化]第十四届国际数学教育大会(简称 ICME - 14)的会徽的主题图案(如图 1)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的灿烂文明.图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字 3745.我们常用的数是十进制数,如 $ 4657 = 4 × 10^3 + 6 × 10^2 + 5 × 10^1 + 7 × 1 $；在电子计算机中用二进制,如二进制中数 110 换算成十进制的数,为 $ 110 = 1 × 2^2 + 1 × 2^1 + 0 × 1 = 6 $.八进制数 3745 换算成十进制数是______.

答案： 2021 提示：$3745=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×1=2021$

7. [生活情境]某校课间活动时,有 $ 8 $ 名同学藏在 $ 8 $ 个大盾牌后面,男同学的盾牌前面写的是一个正数,女同学的盾牌前面写的是一个负数.这 $ 8 $ 个盾牌如图 2 所示.请求出盾牌后面男、女同学各有多少名.

答案： 解：计算结果为正数的有$\dfrac{-5}{-25}$,$\vert-8\vert$,$(-1)^{2024}$,$\dfrac{-5}{(-3)^4}$;计算结果为负数的有$(-30)^{31}$,$-2^{10}$,$4×(-2)$,$(-5)^3$.所以盾牌后面男、女同学各有4名

8. 探究与应用
【特例分析】(1) 算一算：
① $ (3 × 5)^2 = $______,$ 3^2 × 5^2 = $______；
② $ [(-2) × 3]^2 = $______,$ (-2)^2 × 3^2 = $______.
以上每组的两个算式,结果______(填“相等”或“不相等”).
【猜想证明】(2) 想一想：
$ (a × b)^3 = $______.
(3) 猜一猜：当 $ n $ 为正整数时,$ (a × b)^n $ 等于什么？请你写出算式,并利用乘方的意义说明理由.
【拓展应用】(4) 利用上述结论,计算：$ (-8)^{2025} × (0.125)^{2024} $.

答案： 解：
(1)①225 225 ②36 36 相等；
(2)$a^2× b^2$；
(3)$(a× b)^n=a^n× b^n$.理由：$(a× b)^n=\underbrace{(a× b)×(a× b)×\cdots×(a× b)}_{n个(a× b)}=\underbrace{a× a×\cdots× a}_{n个a}×\underbrace{b× b×\cdots× b}_{n个b}=a^n× b^n$.所以$(a× b)^n=a^n× b^n$；
(4)$(-8)^{2025}×(0.125)^{2024}=(-8)×(-8)^{2024}×(0.125)^{2024}=-8×(-8×0.125)^{2024}=-8×1=-8$