《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

例 解三元一次方程组：
$\begin{cases}x - 4y + z = -3①,\\2x + y - z = 18②,\\x - y - z = 7③.\end{cases} $
思路点拨 观察方程组,可发现三个方程中$z的系数绝对值均为1$,系数较简单,则考虑先消去未知数$z$.消去$z$有两种方法：方法一,由$① + ②和② - ③消去z$；方法二,由$③得z = x - y - 7$,将其分别代入$①②可消去z$.
解 方法一(加减消元法)：
$① + ②$,得$3x - 3y = 15$,即$x - y = 5④$.
$② - ③$,得$x + 2y = 11⑤$.
$⑤ - ④$,得$3y = 6$.
两边都除以$3$,得$y = 2$.
把$y用2代入方程④$,得$x = 7$.
把$x用7$,$y用2代入方程③$,得$z = -2$.
因此,$\begin{cases}x = 7,\\y = 2,\\z = -2\end{cases} $是原三元一次方程组的解.
方法二(代入消元法)：
由方程$③$,得$z = x - y - 7④$.
将$④式分别代入方程①和②$,得
$\begin{cases}x - 4y + (x - y - 7) = -3,\\2x + y - (x - y - 7) = 18.\end{cases} $
整理,得$\begin{cases}2x - 5y = 4,\\x + 2y = 11.\end{cases} $
解得$\begin{cases}x = 7,\\y = 2.\end{cases} $
把$x用7$,$y用2代入方程③$,得$z = -2$.
因此,$\begin{cases}x = 7,\\y = 2,\\z = -2\end{cases} $是原三元一次方程组的解.

答案： 方法一（加减消元法）：
$① + ②$，得$3x - 3y = 15$，即$x - y = 5④$。
$② - ③$，得$x + 2y = 11⑤$。
$⑤ - ④$，得$3y = 6$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入④，得$x = 7$。
将$x = 7$，$y = 2$代入③，得$7 - 2 - z = 7$，解得$z = -2$。
方法二（代入消元法）：
由③，得$z = x - y - 7④$。
将④代入①，得$x - 4y + (x - y - 7) = -3$，整理得$2x - 5y = 4⑤$。
将④代入②，得$2x + y - (x - y - 7) = 18$，整理得$x + 2y = 11⑥$。
联立⑤⑥，解得$\begin{cases}x = 7, \\ y = 2.\end{cases}$
将$x = 7$，$y = 2$代入④，得$z = 7 - 2 - 7 = -2$。
原方程组的解为 $\begin{cases}x = 7, \\ y = 2, \\ z = -2.\end{cases}$

1. 解三元一次方程组$\begin{cases}x - y + z = -3①,\\x + 2y - z = 1②,\\x + y = 0③,\end{cases} $要使解法较为简便,首先进行的变形应为( ).

A.$① + ②$
B.$① - ②$
C.$① + ③$
D.$② - ③$

答案： A

2. 三元一次方程组$\begin{cases}3x + 4z = 7,\\2x + y + z = 9,\\3x - 3y + 7z = -2\end{cases} $的解是______.

答案： $\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=1,\\ z=-2\end{array}\right. $

3. 解三元一次方程组：$\begin{cases}3x + 4y + z = 14①,\\x + 5y + 2z = 17②,\\2x + 2y - z = 3③.\end{cases} $

答案： 解:①×2-②,得5x+3y=11④.①+③,得5x+6y=17⑤.⑤-④,得3y=6.两边都除以3,得y=2.把y用2代入方程④,得x=1.把x=1,y=2代入方程③,解得z=3.因此,$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2,\\ z=3\end{array}\right. $是原三元一次方程组的解.