《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

4. 观察下面一列数：$1$,$\frac{3}{4}$,$\frac{5}{9}$,$\frac{7}{16}$,$\frac{9}{25}…$
根据上面的规律,解答下列问题：
(1) 第 $6$ 个数为______.
(2) 第 $n$ 个数为______.

答案：
(1)$\frac{11}{36}$
(2)$\frac{2n-1}{n^{2}}$ 提示:观察题中数据,可知每个数的分母为这个数序号的平方,分子等于序号的2倍减1,于是得到第6个数为$\frac{2×6-1}{6^{2}}=\frac{11}{36}$,第n个数为$\frac{2n-1}{n^{2}}$.

5. 甲、乙两地之间的公路全长为 $100$ $km$,某人驾车从甲地开往乙地,行驶速度为 $m$ $km/h$. 用含 $m$ 的代数式表示：
(1) 此人驾车从甲地开往乙地需要的时间为______ $h$；
(2) 若每小时多行驶 $2$ $km$,则此人从甲地到乙地比原来少用的时间为______ $h$.

答案：
(1)$\frac{100}{m}$
(2)$\frac{100}{m}-\frac{100}{m+2}$

6. [教材第 $70$ 页习题 $2.1$ 第 $5$ 题变式]
结合生活实例,说明代数式 $2x$ 可以表示什么.(至少写出 $3$ 个)

答案： 解:(答案不唯一,符合生活实际即可)①如果小明的跑步速度是2 m/s,那么他x s所跑路程为2x m.②一支铅笔价格为x元,一支中性笔的价格为铅笔的2倍,则一支中性笔的价格为2x元.③如果大白菜每千克2元,那么买x kg大白菜需要2x元.

7. 网约车是一种便捷的出行方式,某网约车平台有快车和专车两种乘车服务,它们的收费方式如下. 专车：每千米收费 $2.5$ 元,不收其他费用. 快车：行程不超过 $3$ $km$ 收费 $8$ 元,超过 $3$ $km$ 后,超出部分每千米加收 $2$ 元,同时每趟营运在计价器显示的金额的基础上再向乘客加收 $1$ 元的平台服务费.
根据以上信息,解答下列问题：
(1) 若张老师选择乘坐专车行 $2$ $km$,则需付______元；若张老师选择乘坐快车行 $2$ $km$,则需付______元；若张老师选择乘坐快车行 $5$ $km$,则需付______元.
(2) 张老师需要到离家 $x$ $km$ 的学校上班,请分别用代数式表示张老师乘坐专车和快车的付费情况.

答案： 解:
(1)5 9 13
(2)由题意,得张老师乘坐专车需要付的费用为2.5x元.当x大于0且小于或等于3时,张老师乘坐快车需要付的费用为8+1=9(元);当x大于3时,张老师乘坐快车需要付的费用为$8+2(x-3)+1=(2x+3)$元.

8. 我们知道 $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}$,那么 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3}$ 的结果等于多少呢？请你仔细观察图 $5$,找出图形与算式的关系,解决下列问题：

【用数学的眼光观察】
(1) 第 $6$ 个图形可以表示的等式是______.
【用数学的语言表达】
(2) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = $______.
【用数学的思维思考】
(3) 求 $\frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + 2025^{3}}{1 + 2 + 3 + … + 2025}$ 的值.

答案： 解:
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=21^{2}$ 提示:由所给等式可知,$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=(1+2+3+4+5+6)^{2}=21^{2}$.
(2)$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$
(3)原式$=\frac{(1+2+3+\cdots+2025)^{2}}{1+2+3+\cdots+2025}=1+2+3+\cdots+2025=\frac{2025×2026}{2}=2051325$.