《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

7. 探究与分析
【提出问题】 任何一个无限循环小数都可以写为分数形式吗？
【初步分析】 如何将$0.\dot{4}$化为分数形式？
解：设$x = 0.\dot{4}$,则$10x = 10×0.\dot{4}$。
由$0.\dot{4} = 0.444…$,可知$10x = 4.444…$。
所以$10x = 4 + 0.\dot{4}$,即$10x = 4 + x$。
移项,得$10x - x = 4$。
合并同类项,得$9x = 4$。
两边都除以9,得$x = \frac{4}{9}$。
于是,得$0.\dot{4} = \frac{4}{9}$。
【类比探究】
(1)仿照以上分析,将$0.\dot{2}\dot{7}$化为分数形式。
解：设$x = 0.\dot{2}\dot{7}$,则$100x = $______。
所以$100x = $______$+ x$。
移项,得______。
合并同类项,得______。
两边都除以______,得$x = $______。
所以$0.\dot{2}\dot{7} = $______。
【深入探究】
(2)将循环小数$0.\dot{3}2\dot{4}$化为分数形式,结果为______。
【规律总结】
(3)将循环小数$0.\underbrace{\dot{1}23…\dot{n}}_{n个数}$化为分数形式,结果为______。

答案： 解:
(1)27.$\dot{2}$$\dot{7}$ 27 100x-x=27 99x=27 99 3/11 3/11
(2)12/37 提示:设x=0.$\dot{3}$2$\dot{4}$,则1000x=324.$\dot{3}$2$\dot{4}$.所以1000x=324+x.移项、合并同类项,得999x=324.两边都除以999,得x=324/999=12/37.所以0.$\dot{3}$2$\dot{4}$=12/37.
(3)$\frac{\overbrace{123\cdots n}^{n个数字}}{\underbrace{99\cdots9}_{n个9}}$ 提示:设x=0.$\dot{1}$23$\cdots$$\dot{n}$,则$\underbrace{100\cdots0}_{n个0}$x=$\overbrace{123\cdots n}^{n个数字}$+x.移项、合并同类项,得$\underbrace{99\cdots9}_{n个9}$x=$\overbrace{123\cdots n}^{n个数字}$.两边都除以$\underbrace{99\cdots9}_{n个9}$,得x=$\frac{\overbrace{123\cdots n}^{n个数字}}{\underbrace{99\cdots9}_{n个9}}$.

1. 去括号：运用乘法对加法的______,将方程中的括号去掉。

答案： 分配律

2. 去分母：在原方程的两边都乘各个分母的______,从而将分母去掉。

答案： 最小公倍数

1. 要把方程$3(2x - 1) = -(x + 1)化成x = a$的形式,第一步应是( )。

A.去分母
B.去括号
C.移项
D.合并同类项

答案： B

2. 把方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 3}{4}化成x = a$的形式,去分母后的结果是( )。

A.$x - 1 = 2x + 3$
B.$4x - 1 = 2x + 3$
C.$2(x - 1) = 4(2 + 3x)$
D.$2(x - 1) = 2x + 3$

答案： D

3. 把方程$\frac{x - 1}{5} = \frac{x + 1}{15}化成x = a$的形式。
解：在原方程的两边都乘15,得$3(x - 1) = $______。
去括号,得______。
移项,得______。
合并同类项,得______。
两边都除以2,得______。

答案： x+1 3x-3=x+1 3x-x=1+3 2x=4 x=2