《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

7. [教材第 81 页习题 2.3 第 7 题变式]
若 $3xy^{m + 4}$ 与 $-x^{n - 1}y^{3}$ 的差仍为单项式,则 $m^{n}$ 的值为______。
小锦囊
若两个单项式的和或差仍为单项式,则说明这两个单项式是同类项。

答案： 1 提示：由$3xy^{m+4}$与$-x^{n-1}y^3$的差为单项式，得$3xy^{m+4}$与$-x^{n-1}y^3$是同类项.从而$m+4=3$，$n-1=1$.解得$m=-1$，$n=2$.故$m^n=(-1)^2=1$.

8. [开放性题]已知单项式 $-xy^{3}$,$5x^{4}y$,$-4y^{5}$,$\frac{2}{3}x^{6}y^{4}$,$x^{2}y^{2}$,$-6$。请你用这些单项式按下列要求解决问题。
(1)写出一个五次三项式。
(2)把这些单项式组成一个多项式,说明这个多项式是几次几项式,并把它按 $y$ 的降幂排列。

答案：
(1)答案不唯一，如$-xy^3+5x^4y-4y^5$.
(2)这个多项式是十次六项式，按$y$的降幂排列为$-4y^5+\frac{2}{3}x^6y^4-xy^3+x^2y^2+5x^4y-6$.

9. 理解与运用
【阅读材料】 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的合并与求值中应用广泛。
例如,我们把 $a + b$ 看成一个整体,则
$\begin{aligned}&4(a + b) - 2(a + b) + (a + b)\\=&(4 - 2 + 1)(a + b)\\=&3(a + b)\end{aligned} $
【尝试应用】
(1)我们把 $(a - b)^{2}$ 看成一个整体,合并 $3(a - b)^{2} - 6(a - b)^{2} + 7(a - b)^{2}$ 的结果是______。
(2)已知 $x - y = 3$,求多项式 $\frac{1}{4}(x - y)^{2} - 0.3(x - y) + 0.75(x - y)^{2} + \frac{3}{10}(x - y) - 2(x - y) + 7$ 的值。
小锦囊
第(2)题把 $x - y$ 看成一个整体,合并同类项后再代入 $x - y$ 的值即可得出结果。

答案：
(1)$4(a-b)^2$ 提示：$3(a-b)^2-6(a-b)^2+7(a-b)^2=(3-6+7)(a-b)^2=4(a-b)^2$.
(2)原式$=(\frac{1}{4}+0.75)(x-y)^2+(-0.3+\frac{3}{10}-2)(x-y)+7=(x-y)^2-2(x-y)+7$.因为$x-y=3$，所以原式$=3^2-2×3+7=10$.