《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

1. 下列方程组,为三元一次方程组的是( ).

A.$\begin{cases}2x = 5,\\x^{2} + y = 7,\\x + y + z = 6\end{cases} $
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x} - y + z = -2,\\x - 2y + z = 9,\\x + y = -3\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y - z = 7,\\xyz = 1,\\x - 3y = 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 2,\\y + z = 1,\\x + z = 9\end{cases} $

答案： D

2. 已知$\begin{cases}x + y = 5,\\y + z = 9,\\z + x = 8,\end{cases} 则x + y + z = $______.

答案： 11 提示:将方程组的三个方程相加,得2x+2y+2z=22,故x+y+z=11.

3. [教材第138页习题3.8第2题变式]如右图,每条边上的三个数之和都等于$16$,则$a$,$b$,$c$的值分别为______.

答案： 5,6,4 提示:由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a+5+b=16,\\ a+7+c=16,\\ b+6+c=16,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} a+b=11,\\ a+c=9,\\ b+c=10.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=6,\\ c=4.\end{array}\right. $

4. [教材第137页练习变式]
解下列三元一次方程组：
(1)$\begin{cases}x + y + z = 10①,\\3x + y = 18②,\\x = y + z③;\end{cases} $
(2)$\begin{cases}3x + 2y + 5z = 2①,\\x - 2y - z = 6②,\\4x + 2y - 7z = 30③.\end{cases} $

答案：
(1)把方程③分别代入方程①②,得$\left\{\begin{array}{l} 2y+2z=10,\\ 4y+3z=18.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} y=3,\\ z=2.\end{array}\right. $把y用3,z用2代入方程③,得x=5.因此,$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=3,\\ z=2\end{array}\right. $是原三元一次方程组的解.
(2)①+②,得4x+4z=8,即x+z=2④.②+③,得5x-8z=36⑤.④×5-⑤,得13z=-26.两边都除以13,得z=-2.把z用-2代入方程④,得x=4.把x用4,z用-2代入方程②,得y=0.因此,$\left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=0,\\ z=-2\end{array}\right. $是原三元一次方程组的解.

5. 在$y = ax^{2} + bx + c$中,当$x = 1$时,$y = 0$；当$x = -1$时,$y = 6$；当$x = 2$时,$y = 3$.则当$x = -2$时,$y$的值为( ).

A.$13$
B.$14$
C.$15$
D.$16$

答案： C 提示:根据题意,得三元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0,\\ a-b+c=6,\\ 4a+2b+c=3.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-3,\\ c=1.\end{array}\right. $所以y=2x²-3x+1.当x=-2时,y=2×(-2)²-3×(-2)+1=15.

6. [教材第135页“做一做”变式]
已知一个三位数,个位、百位上的数字之和等于十位上的数字,个位上的数字是百位上数字的$2$倍,个位、十位、百位上的数字的和是$12$.求这个三位数.

答案： 解:设这个三位数百位上的数字为x,十位上的数字为y,个位上的数字为z.根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} x+z=y,\\ z=2x,\\ x+y+z=12.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=6,\\ z=4.\end{array}\right. $故这个三位数是264.