《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

6. 已知二元一次方程组 $\begin{cases}ax + by = 1\\2x - y = 1\end{cases} $ 和 $\begin{cases}ax - by = 5\\x + 2y = 3\end{cases} $ 的解相同,则这两个方程组的解是______。进一步可得 $a = $______,$b = $______。
小锦囊
由两个方程组同解,可知二元一次方程组①$\begin{cases}2x - y = 1\\x + 2y = 3\end{cases} $ 的解也是方程组②$\begin{cases}ax + by = 1\\ax - by = 5\end{cases} $ 的解。先求出①中 $x$,$y$ 的值,再代入方程组②,即可求出 $a$ 和 $b$ 的值。

答案： {x=1,y=1} 3 -2 提示:由{2x - y = 1,x + 2y = 3,解得{x=1,y=1.将{x=1,y=1代入{ax + by = 1,ax - by = 5,得{a + b = 1,a - b = 5.解得{a=3,b=-2.

7. 数学课上,张老师提出如下问题：已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $ 的解是 $\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases} $。解方程组 $\begin{cases}a_1(x - 1) + b_1(y + 3) = c_1\\a_2(x - 1) + b_2(y + 3) = c_2\end{cases} $。
有三名同学提出了各自的想法。
甲说：“这个题目的条件不够,不能求解。”
乙说：“它们的系数有一定的规律,可以试着将方程变形。”
丙说：“把第二个方程组中的 $x - 1$ 和 $y + 3$ 分别看作一个整体,这两个方程组就一样了。”
参考他们的讨论,请你求出第二个方程组的解,这个解是______。

答案： {x=4,y=1} 提示:把第二个方程组中的x - 1看作一个整体,y + 3看作一个整体.则由题意得{x - 1=3,y + 3=4.解得{x=4,y=1.

8. 理解与运用
【解法示例】 在解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = 3①\\4x + 11y = 5②\end{cases} $ 时,小聪采用了一种“整体代入”的解法。
解：由方程②变形,得 $4x + 10y + y = 5$,
即 $2(2x + 5y) + y = 5③$。
把方程①代入③式,得 $2×3 + y = 5$。
解得 $y = -1$。
把 $y$ 用 $-1$ 代入方程①,得
$2x + 5×(-1) = 3$。
解得 $x = 4$。
因此,$\begin{cases}x = 4\\y = -1\end{cases} $ 是原二元一次方程组的解。
【迁移运用】 请仿照小聪的方法解二元一次方程组：$\begin{cases}4x - 3y = 6①\\8x - 7y = 18②\end{cases} $。

答案： 解:由方程②变形,得8x - 6y - y = 18,即2(4x - 3y) - y = 18③.把方程①代入③式,得2×6 - y = 18.解得y=-6.把y用-6代入方程①,得4x - 3×(-6)=6.解得x=-3.因此,{x=-3,y=-6}是原二元一次方程组的解.