《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册湘教版》

5. [新定义]如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数,那么我们称这个方程组为“关联方程组”。若关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 4 - a\\x - y = 3a\end{cases} $ 是“关联方程组”,则 $a$ 的值为( )。

A.0
B.1
C.2
D.-2

答案： D 提示:{x+3y=4 - a①,x - y=3a②,① + ②,得2x + 2y=4 + 2a,即x + y=2 + a.由关联方程组的定义,得x + y=0.所以2 + a=0.解得a=-2.

6. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3\\2x + 3y = 8\end{cases} $,且 $x$,$y$ 满足 $x + 2y = 5$,求 $m$ 的值。
下列是三名同学提出三种不同的解题思路。
甲：先解关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3\\2x + 3y = 8\end{cases} $,再代入 $x + 2y = 5$,从而求出 $m$ 的值。
乙：先将方程组中的两个方程相加,再求 $m$ 的值。
丙：先解方程组 $\begin{cases}x + 2y = 5\\2x + 3y = 8\end{cases} $,再将解得的 $x$,$y$ 的值代入 $3x + 7y = 5m - 3$,从而求出 $m$ 的值。
你最喜欢______同学的思路(填“甲”或“乙”或“丙”),根据你所选的思路解答此题。

答案： 答案不唯一.例:(方法一)乙 解:两个方程相加,得5x + 10y=5m + 5.两边都除以5,得x + 2y=m + 1.因为x + 2y=5,所以m + 1=5.解得m=4. (方法二)丙 解:{x + 2y=5①,2x + 3y=8②.①×2,得2x + 4y=10③.③ - ②,得(2x + 4y)-(2x + 3y)=10 - 8.去括号,得2x + 4y - 2x - 3y=10 - 8.合并同类项,得y=2.把y用2代入①,得x + 2×2=5.解得x=1.把{x=1,y=2代入3x + 7y=5m - 3,得3 + 14=5m - 3.解得m=4.

7. [教材第 144 页“数学文化”内容拓展]
理解与运用
【解法示例】 对于关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组,我们可以将 $x$,$y$ 的系数和相应的常数项排成一个数表 $\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & z_1\\x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix} $,通过运算使数表变为 $\begin{vmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\end{vmatrix} $ 的形式,即可求得方程组的解为 $\begin{cases}x = a\\y = b\end{cases} $。例如,解二元一次方程组 $\begin{cases}4x + 3y = 54\\x + 3y = 36\end{cases} $ 的运算过程如下：
上行 $\begin{vmatrix}4 & 3 & 54\\1 & 3 & 36\end{vmatrix} $ 上行 - 下行 $\begin{vmatrix}3 & 0 & 18\\1 & 3 & 36\end{vmatrix} $ 上行÷3
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 6\\1 & 3 & 36\end{vmatrix} $ 下行 - 上行 $\begin{vmatrix}1 & 0 & 6\\0 & 3 & 30\end{vmatrix} $ 下行÷3

$\begin{vmatrix}1 & 0 & 6\\0 & 1 & 10\end{vmatrix} $。
因此,$\begin{cases}x = 6\\y = 10\end{cases} $ 是原二元一次方程组的解。
【类比解题】 依照上述数表的解法解二元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 13\\2x + 3y = 19\end{cases} $。

答案： 上行 2 1 13 下行-上行 下行 2 3 19 |2 1 13| 下行÷2 |2 1 13| 上行-下行 |0 2 6| |0 1 3| |2 0 10| 上行÷2 |1 0 5|.因此,{x=5,y=3}是原二 |0 1 3| |0 1 3| 元一次方程组的解.