《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图,四边形 ABCD 为$\odot O$的内接四边形,弦AB 与 DC 的延长线相交于点 G,$AE⊥CD$,垂足为 E,连接 BD.若点 O 在 AE 上,$∠GBC=48^{\circ }$,则$∠DBC$的度数为(A)
A.$84^{\circ }$
B.$72^{\circ }$
C.$66^{\circ }$
D.$48^{\circ }$

答案： A

10.(2025·江津中学期中)如图,AB 为$\odot O$的直径,C 为 AB 上方半圆上的一个动点,$CE⊥AB$于点 E,$∠OCE$的平分线交$\odot O$于点 D,且$\odot O$的半径为 5,连接 BC,则$AD=$$5\sqrt{2}$;若弦AC 的长为 6,则$CD=$$7\sqrt{2}$.

答案： $5\sqrt{2}$ $7\sqrt{2}$

11.如图,圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC,BD交于点 E,BD 平分$∠ABC,∠BAC=∠ADB.$
(1)求证 DB 平分$∠ADC$,并求$∠BAD$的大小;
(2)过点 C 作$CF// AD$交 AB 的延长线于点F,若$AC=AD,BF=2$,求该圆的半径.

答案： $(1)$ 证明$DB$平分$\angle ADC$并求$\angle BAD$的大小
- **证明$DB$平分$\angle ADC$：
已知$BD$平分$\angle ABC$，则$\angle ABD = \angle CBD$。
因为$\angle BAC$与$\angle BDC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle BAC=\angle BDC$。
又因为$\angle BAC = \angle ADB$，所以$\angle ADB=\angle BDC$，即$DB$平分$\angle ADC$。
- **求$\angle BAD$的大小：
设$\angle ABD=\angle CBD = \alpha$，$\angle ADB=\angle BDC=\beta$。
因为四边形$ABCD$是圆内接四边形，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ADC+\angle ABC= 180^{\circ}$。
又因为$\angle BAC=\angle ADB=\beta$，$\angle BAC+\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}$（三角形内角和定理），即$\beta+\alpha+\beta = 180^{\circ}$，$\angle ABC = 2\alpha$，$\angle ADC=2\beta$，$\angle BAD=\beta+\alpha$。
所以$\angle BAD = 90^{\circ}$。
$(2)$ 求该圆的半径
- **证明$\triangle ABC\cong\triangle DBC$：
因为$\angle ABD=\angle CBD$，$BD = BD$，$\angle ADB=\angle BDC$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$，所以$AB = CB$。
- **证明$\triangle ABC$是等边三角形：
因为$AC = AD$，$\angle ADB=\angle BDC$，$DE = DE$，根据$SAS$（边 - 角 - 边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CDE$，所以$\angle DAE=\angle DCE$。
又因为$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$CF// AD$，所以$\angle FCB=\angle ADC$。
由$\angle BAC=\angle ADB$，$\angle ADB=\angle BDC$，$\angle BAC=\angle BDC$，$AB = CB$，$AC = AC$，可得$\triangle ABC$是等边三角形。
- **求圆的半径：
因为$CF// AD$，所以$\angle F=\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle FCB=\angle ADC = 60^{\circ}$。
已知$BF = 2$，在$Rt\triangle BCF$中，$\angle FCB = 60^{\circ}$，则$\angle FBC=30^{\circ}$，所以$BC = 4$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$BD$是圆的直径。
又因为$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ABD=\angle CBD = 30^{\circ}$，$AB = BC = 4$，在$Rt\triangle ABD$中，$\cos\angle ABD=\frac{AB}{BD}$，即$\cos30^{\circ}=\frac{4}{BD}$，$BD=\frac{4}{\cos30^{\circ}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
所以圆的半径$R=\frac{BD}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
综上，$(1)$ $DB$平分$\angle ADC$，$\boldsymbol{\angle BAD = 90^{\circ}}$；$(2)$ 该圆的半径为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$。

12.已知 A,B 为圆上的两定点,点 C 在该圆上,$∠C$为$\widehat {AB}$所对的圆周角.
(1)如图 1,在$\odot O$中,B,C 位于直线 AO 异侧,$∠AOB+∠C=135^{\circ }.$
①$∠C$的度数为______;
②若$\odot O$的半径为 5,$AC=8$,求 BC 的长.
(2)如图 2,在$\odot P$中,若$∠APB=90^{\circ }$,点 C 在直线 AP 上方的圆弧上运动.点 D 在$\odot P$上,$CD=\sqrt {2}CB-CA$.求证:满足条件的点 D 中,必有一个点的位置始终不变.

答案：
解:
(1)①45° ②$7\sqrt{2}$
(2)证明:如图,过点B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交⊙P于点F,连接CF,FB.

∵∠APB=90°,
∴∠C=45°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴BE=BC,CE=$\sqrt{2}$CB.
∵BP⊥AF,PA=PF,
∴BA=BF.
∵AF是直径,
∴∠ABF=90°,
∴∠EBC=∠ABF,
∴∠EBA=∠CBF,
∴△EBA≌△CBF(SAS),
∴AE=CF.
∵CD=$\sqrt{2}$CB−CA=CE−CA=AE,
∴CD=CF,
∴满足条件的点D中,必有一个点的位置始终不变,即为点F处.