《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. (2025·璧山区月考)抛物线$y = -(x - 1)^2 - 3$的顶点坐标是 (B)
A. $(-1, -3)$
B. $(1, -3)$
C. $(1, 3)$
D. $(-1, 3)$

答案： B

2. 如图,二次函数$y = a(x + 2)^2 + k$的图象与$x$轴交于点$A$和点$B(-1, 0)$,则下列说法正确的是 (D)

A. $a ＜ 0$
B. 点$A$的坐标为$(-4, 0)$
C. 当$x ＜ 0$时,$y$随$x$的增大而减小
D. 图象的对称轴为$x = -2$

答案： D

3. (2024·九龙坡区阶段练习)若点$A(-3, y_1)$,$B(-2, y_2)$,$C(2, y_3)$在二次函数$y = a^2(x - 1)^2 - 5(a ≠ 0)$的图象上,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系是 (A)
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
D. $y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$

答案： A

4. 已知二次函数$y = a(x - 1)^2 + c$的图象如图所示,则一次函数$y = ax + c$的大致图象是(B)

答案： B

5. (2025·开州区阶段练习改编)将二次函数$y = 2(x - 1)^2 + 1$的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的新图象的函数解析式为$ y = 2(x + 1)^2 - 2 $.

答案： $ y = 2(x + 1)^2 - 2 $

6. 已知二次函数$y = (x - 1)^2 - 1$,当$-2 ≤ x ≤ 0$时,$y$的最小值是0,最大值是8.

答案： 0 8

[变式1] (2025·长寿区月考改编)已知二次函数$y = -(x + 1)^2 + 4$,当$-2 ≤ x ≤ 1$时,$y$的取值范围是$ 0 \leq y \leq 4 $.

答案： $ 0 \leq y \leq 4 $

[变式2] 已知二次函数$y = -(x + 1)^2 + 4$,当$a ≤ x ≤ \frac{1}{2}$时,函数值$y$的最小值为1,则$a$的值为$-1 - \sqrt{3}$.

答案： $ -1 - \sqrt{3} $

7. 有下列关于二次函数$y = -(x - m)^2 + m^2 + 1$（$m$为常数）的结论:①该函数的图象与函数$y = -x^2$的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点$(0, 1)$;③当$x ＞ 0$时,$y$随$x$的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数$y = x^2 + 1$的图象上.其中正确结论的序号是①②④.

答案： ①②④

8. 如图,点$A$,$B$的坐标分别为$(1, 4)$和$(4, 4)$,抛物线$y = a(x - m)^2 + n$的顶点在线段$AB$上运动,与$x$轴交于$C$,$D$两点(点$C$在点$D$的左侧),点$C$的横坐标的最小值为$-3$,则点$D$的横坐标的最大值为8.

答案： 8

9. 如图,二次函数$y = -(x - 2)^2 + k$的图象经过点$(3, 3)$,且与一次函数$y = \frac{1}{2}x$的图象相交于点$A$.
(1)求$k$的值及抛物线的顶点$P$的坐标;

(2)求点$A$的坐标;
(3)连接$PO$,$PA$,求$\triangle POA$的面积.

答案：
(1) $ k = 4 $，顶点 $ P $ 的坐标为 $ (2, 4) $
(2) $ \left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{4} \right) $
(3) $ \dfrac{21}{4} $