《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9. 【新考法·跨学科】有首诗词这样写道：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是$x(x\geqslant 3)$，则可列方程为（C）
A. $10x+(x - 3)=(x - 3)^{2}$
B. $10(x + 3)+x=x^{2}$
C. $10x+(x + 3)=(x + 3)^{2}$
D. $10(x + 3)+x=(x + 3)^{2}$

答案： C

10. 某种植物的根系特别发达，它的主根长出若干数目的支根，其中$\frac{1}{3}$的支根又生长出同样数目的小支根，其余的支根则会生长出一半数目的小支根.若一棵该种植物的主根、支根、小支根的总数是$109$支，则该植物的主根生长出的支根数目为12.

答案： 12

11. 下图是$2025$年$12$月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题.
（1）若虚线方框中最大的数与最小的数的乘积为$180$，求最小的数.

（2）虚线方框中最大的数与最小的数的乘积与虚线方框中的四个数的和能为$124$吗？若能，请求出最小的数；若不能，请说明理由.

答案： 1. （1）
设最小的数为$x$，则最大的数为$x + 8$。
根据最大的数与最小的数的乘积为$180$，可列方程$x(x + 8)=180$。
展开方程得$x^{2}+8x - 180 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 8$，$c=-180$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(8)^{2}-4\times1\times(-180)=64 + 720 = 784$。
则$x=\frac{-8\pm\sqrt{784}}{2\times1}=\frac{-8\pm28}{2}$。
当$x=\frac{-8 + 28}{2}=\frac{20}{2}=10$；当$x=\frac{-8-28}{2}=\frac{-36}{2}=-18$（因为日期不能为负数，舍去）。
所以最小的数是$10$。
2. （2）
设最小的数为$y$，则另外三个数分别为$y + 1$，$y + 7$，$y + 8$。
四个数的和为$y+(y + 1)+(y + 7)+(y + 8)=4y+16$，最大数与最小数的乘积为$y(y + 8)$。
若$y(y + 8)+4y + 16 = 124$。
展开得$y^{2}+8y+4y + 16 = 124$，即$y^{2}+12y-108 = 0$。
对于一元二次方程$y^{2}+12y - 108 = 0$，其中$a = 1$，$b = 12$，$c=-108$，$\Delta=b^{2}-4ac=(12)^{2}-4\times1\times(-108)=144 + 432 = 576$。
根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12\pm\sqrt{576}}{2\times1}=\frac{-12\pm24}{2}$。
当$y=\frac{-12 + 24}{2}=6$；当$y=\frac{-12-24}{2}=-18$（舍去）。
当$y = 6$时，$y+8=14$，$y + 1 = 7$，$y + 7 = 13$，在月历表中存在这样的数。
所以（1）最小的数是$10$；（2）能，最小的数是$6$。

12. 【新情境·数学文化】如图，第十四届国际数学教育大会（ICME - 14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数$3745$.八进制是以$8$作为进位基数的数字系统，有$0\sim 7$共$8$个基本数字.八进制数$3745$换算成十进制数是$3\times 8^{3}+7\times 8^{2}+4\times 8^{1}+5\times 8^{0}=2021$，表示ICME - 14的举办年份.

（1）把八进制数$3746$换算成十进制数；
（2）小华设计了一个$n$进制数$143$，换算成十进制数是$120$，求$n$的值.

答案：
(1) 2022
(2) 9