《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 若关于$x$的方程$x^{2}-mx+n=0$没有实数根，则抛物线$y=x^{2}-mx+n$与$x$轴的交点有（C）
A. 2个
B. 1个
C. 0个
D. 不能确定
[变式] 若第1题中的条件不变，则抛物线与坐标轴有1个交点.

答案： 1.C 【变式】1

2. 根据下列表格中二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的自变量$x$与$y$的部分对应值，判断关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根的大致范围是（A）
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $y$ | $-7$ | $-5$ | $-1$ | $5$ | $13$ | $23$ |
A. $1＜x＜2$
B. $-1＜x＜1$
C. $-7＜x＜-1$
D. $-1＜x＜5$

答案： 2.A

3. (2025·长寿区期中)如图，一次函数$y_{1}=kx+n(k≠0)$与二次函数$y_{2}=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象相交于$A(-\frac{1}{2},3)$，$B(3,1)$两点，则关于$x$的不等式$kx+n\leq ax^{2}+bx+c$的解集为（B）

A. $1\leq x\leq3$
B. $x\leq-\frac{1}{2}$或$x\geq3$
C. $-\frac{1}{2}\leq x\leq3$
D. $x\leq1$或$x\geq3$

答案： 3.B

4. (2024·达州改编)抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴有两个交点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（C）
A. $b+c＜1$
B. $b=2$
C. $b^{2}+4c＞0$
D. $c＜0$

答案： 4.C

5. 二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的部分图象如图所示，由图象可知方程$ax^{2}+bx+c=0$的解是$x_{1}=-1,x_{2}=5$.
[变式] 若第5题中的条件不变，则不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜5$.

答案： 5.$x_{1}=-1,x_{2}=5$
【变式】$-1＜x＜5$

6. (易错)已知二次函数$y=(k-1)x^{2}-4x+4$的图象与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是$k≤2$且$k≠1$.

答案： 6.$k≤2$且$k≠1$

7. 二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象如图所示，若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx-m=0$有实数根，则$m$的最小值为-7.

答案： 7.-7

抛物线$y=x^{2}+bx+3$的对称轴为$x=1$.若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+3-t=0$（$t$为实数）在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是$2≤t＜11$.

答案： 【变式】$2≤t＜11$

8. 已知二次函数$y=ax^{2}-2ax+3$($a$为常数，$a≠0$).
(1) 若$a＜0$，求证：该函数的图象与$x$轴有两个公共点.
(2) 若$a=-1$，求证：当$-1＜x＜0$时，$y＞0$.

答案： 【解析】：
(1) 对于二次函数$y = ax^{2}-2ax + 3$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在函数$y = ax^{2}-2ax + 3$中，$b=-2a$，$a = a$，$c = 3$。
则$\Delta=(-2a)^{2}-4\times a\times3=4a^{2}-12a = 4a(a - 3)$。
因为$a\lt0$，所以$a-3\lt0$，那么$4a(a - 3)\gt0$（两个负数相乘为正数）。
当$\Delta\gt0$时，二次函数的图象与$x$轴有两个公共点，所以该函数的图象与$x$轴有两个公共点。
(2) 当$a=-1$时，二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3 = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，分解因式得$(x - 3)(x+1)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
所以二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$的二次项系数$-1\lt0$，所以其图象开口向下。
根据二次函数图象的性质，当$-1\lt x\lt3$时，$y\gt0$，那么当$-1\lt x\lt0$时，也满足$y\gt0$。
【答案】：
(1) 证明过程见解析；
(2) 证明过程见解析。