《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

形如$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，$a\neq0)$的函数 - 定义
$a ＞ 0$，图象开口向上
$a ＜ 0$，图象开口向下 - 开口方向
①____ - 对称轴
②____ - 顶点坐标
当③____时，$y$随$x$的增大而增大
当④____时，$y$随$x$的增大而减小 - $a ＞ 0$
当⑤____时，$y$随$x$的增大而增大
当⑥____时，$y$随$x$的增大而减小 - $a ＜ 0$
上、下平移⑦____个单位长度：$y = ax^{2}+k(a\neq0)$
左、右平移⑧____个单位长度：$y = a(x - h)^{2}(a\neq0)$
上、下平移⑨____个单位长度：
左、右平移⑩____个单位长度：$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$
抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$的平移
解析式
$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$(一般式)
$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$(顶点式)
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$(交点式)
二次函数
与一元二次方程的关系
二者关系
抛物线与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程的根
抛物线与$x$轴交点的情况$\Leftrightarrow$一元二次方程解的情况
利用抛物线求其对应一元二次方程的近似根
实际应用
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质解决实际问题
最值
$a ＞ 0$，当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y_{最小值}=$⑪____
$a ＜ 0$，当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y_{最大值}=$⑫____

答案： ①$x=-\frac {b}{2a}$ ②$(-\frac {b}{2a},\frac {4ac-b^{2}}{4a})$ ③$x＞-\frac {b}{2a}$
④$x＜-\frac {b}{2a}$ ⑤$x＜-\frac {b}{2a}$ ⑥$x＞-\frac {b}{2a}$ ⑦$|k|$ ⑧$|h|$
⑨$|k|$ ⑩$|h|$ ⑪$\frac {4ac-b^{2}}{4a}$ ⑫$\frac {4ac-b^{2}}{4a}$

1. 下列关于二次函数$y=(x - 2)^{2}-3$的说法正确的是（D）
A. 图象是一条开口向下的抛物线
B. 图象与$x$轴没有交点
C. 当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 图象的顶点坐标是$(2,-3)$

答案： 1. D

2. 已知二次函数$y = 2x^{2}-4x - 1$，当$0\leqslant x\leqslant a$时，$y$取得的最大值为15，则$a$的值为（D）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 2. D

3. (2024·泸州)已知二次函数$y = ax^{2}+(2a - 3)x + a - 1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$a$的取值范围是（A）
A. $1\leqslant a ＜ \frac{9}{8}$
B. $0 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
C. $0 ＜ a ＜ \frac{9}{8}$
D. $1\leqslant a ＜ \frac{3}{2}$

答案： 3. A

4. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点$A$的坐标为$(-\frac{1}{2},m)$，与$x$轴的一个交点位于0和1之间.有以下结论：①$abc ＞ 0$；②$2b + c ＞ 0$；③若图象经过点$(-3,y_{1})$，$(3,y_{2})$，则$y_{1} ＞ y_{2}$；④若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c - 3 = 0$无实数根，则$m ＜ 3$.其中正确结论的个数是（C）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 4. C

5. 已知$A(-3,y_{1})$，$B(3,y_{2})$是抛物线$y = 2(x - 2)^{2}+1$上的两点，则$y_{1}$，$y_{2}$的大小关系是$y_{1}$＞$y_{2}$.（填“$＜$”“$＞$”或“$=$”）

答案： 5. ＞

6. 点$(m,n)$在二次函数$y = -x^{2}+3$的图象上，则$m + n$的最大值是$\frac {13}{4}$.

答案： 6. $\frac {13}{4}$

7. (2025·巴南区月考)已知二次函数$y = x^{2}-ax + 1$，当$x ＜ -2$时，$y$随$x$的增大而减小，且关于$x$的分式方程$\frac{1}{2 - x}=2+\frac{1 - ax}{x - 2}$的解为正数，则符合条件的所有整数$a$的和为-10.

答案： 7. -10