《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

10. 如图，在平面直角坐标系中放置$Rt\triangle ABC$，$\angle ABC=90^{\circ}$，点$A(3,4)$.现将$\triangle ABC$沿$x$轴的正方向无滑动翻转，依次得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，$\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$，$\cdots$，连续翻转14次，则经过$\triangle A_{14}B_{14}C_{14}$三个顶点的抛物线的解析式为（D）
A. $y=-\frac {3}{5}(x-51)(x-55)$
B. $y=-\frac {5}{12}(x-51)(x-55)$
C. $y=-\frac {3}{5}(x-55)(x-60)$
D. $y=-\frac {5}{12}(x-55)(x-60)$

答案： D

11. (1)(2024·德州改编)已知抛物线$y=x^{2}-4mx+2m+1$，$m$为实数，当$2m-3\leqslant x\leqslant 2m+1$时，$y$的最大值为4，则此抛物线的解析式为________.
(2)【分类讨论】已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$过$A(0,1)$，$B(2,3)$，$C$三点，其中点$C$在直线$x=\frac {1}{2}$上，且点$C$到抛物线的对称轴的距离为$\frac {3}{2}$，则此抛物线的解析式为________.

答案：
(1)$y = x^2 - 6x + 4$ 或 $y = x^2 + 4x - 1$
(2)$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + 1$ 或 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

12. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y=x+2$与坐标轴交于$A$，$B$两点，点$A$在$x$轴上，点$B$在$y$轴上，点$C$的坐标为$(1,0)$，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A$，$B$，$C$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)$P$是抛物线上的一个动点，过点$P$作直线$AB$的垂线段，垂足为$Q$.当$PQ=\frac {\sqrt {2}}{2}$时，求点$P$的坐标.

(1)$y = -x^2 - x + 2$
(2)点 P 的坐标为$(-1,2)$或$(-\sqrt{2} - 1,-\sqrt{2})$或$(\sqrt{2} - 1,\sqrt{2})$

答案：
(1)$y = -x^2 - x + 2$
(2)点 P 的坐标为$(-1,2)$或$(-\sqrt{2} - 1,-\sqrt{2})$或$(\sqrt{2} - 1,\sqrt{2})$

13. (2024·广安)如图，抛物线$y=-\frac {2}{3}x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(3,0)$.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)$P$是直线$BC$上方抛物线上的一个动点，过点$P$作$x$轴的垂线交直线$BC$于点$D$，过点$P$作$y$轴的垂线，垂足为$E$，请探究$2PD+PE$是否有最大值.若有最大值，求出最大值及此时点$P$的坐标；若没有最大值，请说明理由.
(3)若$M$为该抛物线上的点，当$\angle MCB=45^{\circ}$时，请直接写出所有满足条件的点$M$的坐标.

答案：
(1)$y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 2$
(2)$2PD + PE$有最大值，最大值为$\frac{75}{16}$，此时$P(\frac{15}{8},\frac{69}{32})$
(3)点 M 的坐标为$(\frac{17}{10},\frac{117}{50})$或$(\frac{19}{2},-\frac{91}{2})$