《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

3. 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 2 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $, $ B $, 交 $ y $ 轴于点 $ C $, 且 $ O A = 2 O C = 4 O B $.
(1) 求抛物线的函数解析式.
(2) 如图, $ D $ 为抛物线上的一点, 它的横坐标为 $ - 5 $, 连接 $ C D $, $ B C $, $ B D $, 求 $ \triangle C B D $ 的面积.
(3) 将抛物线沿射线 $ A C $ 方向平移 $ \sqrt { 5 } $ 个单位长度, $ F $ 为新抛物线对称轴上的一点, 在平面直角坐标系内是否存在点 $ M $, 使以 $ B $, $ C $, $ F $, $ M $ 为顶点的四边形为矩形? 若存在, 请直接写出点 $ F $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

答案：
(1) $ y = -\frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 2 $
(2) $ \frac{15}{2} $
(3) 存在. 点 $ F $ 的坐标为 $ (\frac{1}{2}, \frac{9}{4}) $ 或 $ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}) $ 或 $ (\frac{1}{2}, \frac{2 + \sqrt{5}}{2}) $ 或 $ (\frac{1}{2}, \frac{2 - \sqrt{5}}{2}) $

4. 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 与直线 $ A B $ 交于 $ A \left( 1, - \frac { 9 } { 2 } \right) $, $ B ( - 2, 0 ) $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ D $, 其中 $ A $ 是抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的顶点.
(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 如图 1, $ P $ 是抛物线上第四象限内的一点, 若 $ \angle P B A = \angle B A D $, 抛物线交 $ x $ 轴于点 $ C $, 连接 $ P C $, 求 $ \triangle B P C $ 的面积;
(3) 如图 2, $ Q $ 是抛物线上第三象限内一点 (与点 $ B $, $ D $ 不重合), 连接 $ B Q $, 以 $ B Q $ 为边作正方形 $ B E F Q $, 当点 $ E $ 或点 $ F $ 恰好落在抛物线的对称轴上时, 直接写出此时点 $ Q $ 的坐标.

答案：
(1) $ y = \frac{1}{2}x^{2} - x - 4 $
(2) $ \frac{15}{2} $
(3) 点 $ Q $ 的坐标为 $ (1 - \sqrt{3}, -3) $ 或 $ (2 - \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}) $