《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

3.(2024·巴蜀中学自主招生)如图 1,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,两对角线的交点为 O,动点 E,F 同时从点 A 出发,点 E 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 边向点 B 运动,点 F 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线$A→D→C$运动,当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动.设运动时间为 t 秒,$△DOF$的面积为$y_{1},$$△BEF$的面积为$y_{2}(y_{1}≠0,y_{2}≠0).$
(1)请直接写出$y_{1},y_{2}$关于 t 的函数解析式,并注明自变量 t 的取值范围;
(2)在图 2 给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,并写出函数$y_{1}$的一条性质;
(3)结合函数图象,求出$△DOF$和$△BEF$面积相等时 t 的值.

答案：
(1) $ y_{1} $关于$ t $的函数解析式为$ y_{1}=\begin{cases}4 - 2t(0 \leq t ＜ 2), \\ 2t - 4(2 ＜ t \leq 4)\end{cases} $，$ y_{2} $关于$ t $的函数解析式为$ y_{2}=\begin{cases}-t^{2}+4t(0 ＜ t \leq 2), \\ 8 - 2t(2 ＜ t ＜ 4)\end{cases} $
(2) 函数图象略。性质：当$ 0 ＜ t ＜ 2 $时，$ y_{1} $随$ t $的增大而减小；当$ 2 ＜ t ＜ 4 $时，$ y_{1} $随$ t $的增大而增大（答案不唯一）
(3) $ 3 - \sqrt{5} $或$ 3 $

4.如图 1,在正方形 ABCD 中,$AB=4$,E 为 AB 的中点,以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.点 P 从点 B 出发,沿$B→C→D$向点 D 运动,同时点 Q 从点 E 出发,沿$E→B→C$向点 C 运动,点 P 的速度是每秒 2 个单位长度,点 Q 的速度是每秒 1 个单位长度.当点 P 运动到点 D 时,P,Q 两点同时停止运动,设点 P 运动的时间为 t s,$△AQP$的面积为 S.
(1)直接写出 S 关于 t 的函数解析式;
$ S=\begin{cases}t^{2}+2t(0 ＜ t \leq 2), \\ t^{2}-6t + 16(2 ＜ t \leq 4)\end{cases} $
(2)通过取点、画图、测量,得到了 S 与 t 的几组值,如下表:
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| S | 0 | m | 8 | n | 8 |
请直接写出$m=$3,$n=$7;
(3)如图 2,在平面直角坐标系中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
略
(4)当$△AQP$是以 AP 为底边的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标.
点$ P $的坐标为$ (0,4) $或$ (4,4) $

答案：
(1) $ S=\begin{cases}t^{2}+2t(0 ＜ t \leq 2), \\ t^{2}-6t + 16(2 ＜ t \leq 4)\end{cases} $
(2) $ 3 $ $ 7 $
(3) 略
(4) 点$ P $的坐标为$ (0,4) $或$ (4,4) $