《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

3.(2025·巴蜀中学开学考试)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx-3$交x轴于点$A(-\sqrt {3},0),B(3\sqrt {3},0)$,交y轴于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)P是直线BC下方抛物线上的一点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,E是直线BC上的一点,且在点D右侧,满足$DE=DP$,求$\triangle DEP$周长的最大值及此时点P的坐标;
(3)将抛物线$y=ax^{2}+bx-3$沿BC方向平移2个单位长度后,得到一个新的抛物线$y',M$为新抛物线$y'$上的一点,点M关于直线BC的对称点为$M'$,连接$MM',CM'$,当$∠CM'M=60^{\circ }$时,直接写出所有符合条件的点M的横坐标.

答案：
(1)$y=\frac {1}{3}x^{2}-\frac {2\sqrt {3}}{3}x-3$
(2)$\triangle DEP$周长的最大值为$\frac {9(2+\sqrt {3})}{4}$，此时$P(\frac {3\sqrt {3}}{2},-\frac {15}{4})$
(3)符合条件的点M的横坐标为$\frac {3\sqrt {3}+\sqrt {51}}{2}$或$\sqrt {6}$或$\frac {3\sqrt {3}-\sqrt {51}}{2}$或$-\sqrt {6}$

4.(2025·重庆南开中学月考)如图1,直线$y=-\frac {4}{3}x+4$分别与y轴、x轴交于A,B两点,与抛物线$y=ax^{2}+bx+18$在第二象限交于点C.已知A为BC的中点,抛物线的对称轴为$x=1$,D为点A关于x轴的对称点,连接BD.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图2,P是抛物线上的一个动点且位于第一象限,连接AP和BP,E为y轴上的一个动点,连接CE和PE,当$S_{\triangle ABP}=\frac {3}{4}S_{\triangle ABD}$时,求点P的坐标及$|PE-CE|$的最大值;
(3)如图3,N直线AB上的一个动点,连接DN,若$2∠AND+∠ABO=90^{\circ }$,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

答案：
(1)$y=-\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x+18$
(2)点P的坐标为$(6,2)$，$|PE-CE|$的最大值为$3\sqrt {5}$
(3)点N的坐标为$(-\frac {24}{5},\frac {52}{5})$或$(\frac {312}{25},-\frac {316}{25})$