《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9. 已知点$A(m,y_{1})$，$B(-m - 1,y_{2})$在抛物线$y = x^{2}-1$上，其中$|m| ＞ 1$，下列判断正确的是（B）
A. $m(y_{1}-y_{2}) ＞ 0$
B. $m(y_{1}-y_{2}) ＜ 0$
C. $y_{1}-y_{2} ＞ 0$
D. $y_{1}-y_{2} ＜ 0$

答案： B

10. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(4,7)$在抛物线$y = ax^{2}-1$上，过点$A$作$y$轴的垂线，交抛物线于另一点$B$，点$C$，$D$在线段$AB$上，过点$C$，$D$作$x$轴的垂线分别与抛物线交于$E$，$F$两点.当四边形$CDFE$为正方形时，线段$CD$的长为$-4 + 4\sqrt{5}$.

答案： $ -4 + 4\sqrt{5} $

11. 已知抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质：抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等.如图，点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$，$P$是抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$上的一个动点.
(1)当$\triangle POF$的面积为4时，求点$P$的坐标；
(2)求$\triangle PMF$周长的最小值.

答案：
(1) $ (-4, 5) $ 或 $ (4, 5) $
(2) 5

12. 如图，抛物线$y = ax^{2}+k$与$x$轴交于$A$，$B$两点(点$A$在点$B$的左侧)，过点$B$的直线交抛物线于点$C$，$P$为直线$BC$上方抛物线上的一个动点，连接$PB$，$PC$，已知点$B(2,0)$，$C(-1,3)$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点$P$的横坐标为$t$，请用含$t$的代数式表示$\triangle PBC$的面积；
(3)点$B$，$C$在直线$BC$上同时沿相同的方向平移相同的距离，点$B$平移后的对应点为$D$，点$C$平移后的对应点为$E$，当$\triangle ADE$是等腰三角形时，求出此时点$D$的坐标.

答案：
(1) $ y = -x^{2} + 4 $
(2) $ S_{\triangle PBC} = -\frac{3}{2}t^{2} + \frac{3}{2}t + 3 $
(3) $ (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) $ 或 $ (\sqrt{5}, -\sqrt{5} + 2) $ 或 $ (-\sqrt{5}, \sqrt{5} + 2) $ 或 $ (3 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}) $ 或 $ (3 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}) $