《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根,则 (A)
A. $x_{1}+x_{2}=6$
B. $x_{1}+x_{2}=-6$
C. $x_{1}x_{2}=\frac {7}{6}$
D. $x_{1}x_{2}=7$

答案： 1.A

2. 若$x=-1$是方程$x^{2}+x+m=0$的一个根,则此方程的另一个根是 (B)
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x=1$
D. $x=2$

答案： 2.B

[变式] 已知关于$x$的方程$x^{2}+mx-20=0$的一个根是$x=-4$,则它的另一个根是$x=5$.

答案： 【变式】$x=5$

3. (2024·黔江区期末)设$a,b$是方程$x^{2}+x-2025=0$的两个实数根,则$a^{2}+2a+b$的值为C
A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

答案： 3.C

4. (2025·西南大学附属中学开学考试)若$m,n$是方程$x^{2}-4x-2024=0$的两个实数根,则代数式$m-2mn+n$的值为4052.

答案： 4.4 052

5. (2024·日照改编)已知实数$x_{1},x_{2}(x_{1}≠x_{2})$是关于$x$的方程$kx^{2}+2kx+1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=2$,则$k$的值为-1.

答案： 5.-1

6. (易错)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(m-2)x+m^{2}=0$的两个实数根互为倒数,则$m$的值是-1.

答案： 6.-1

7. (2024·烟台)若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两根为$m,n$,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为6.

答案： 7.6

8. (教材 P17 习题 T13 变式)(2024·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$.
(1) 求证:无论$m$取何值,方程都有两个不等的实数根;
(2) 如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求$m$的值.

答案： $(1)$ 证明方程有两个不等实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-(m + 2)$，$c = m - 1$。
则$\Delta = [-(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m - 1)$
$=m^{2}+4m + 4-4m + 4$
$=m^{2}+8$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+8＞0$，即$\Delta＞0$。
所以无论$m$取何值，方程都有两个不等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，可得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
将$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$代入$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$中，得到$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$。
把$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，则$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$。
展开式子得$m^{2}+4m + 4-3m + 3 = 9$，即$m^{2}+m - 2 = 0$。
因式分解得$(m + 2)(m - 1)=0$。
所以$m + 2 = 0$或$m - 1 = 0$，解得$m=-2$或$m = 1$。
综上，$(1)$ 证明如上；$(2)$ $m$的值为$-2$或$1$。

9. 在解一元二次方程$x^{2}+px+q=0$时,小红看错了常数项$q$,得到方程的两个根是$-3,1$.小明看错了一次项系数$p$,得到方程的两个根是$5,-4$,则原来的方程是 (B)
A. $x^{2}+2x-3=0$
B. $x^{2}+2x-20=0$
C. $x^{2}-2x-20=0$
D. $x^{2}-2x-3=0$

答案： 9.B

10. 若$a≠b$,且$a^{2}-4a+1=0,b^{2}-4b+1=0$,则$\frac {1}{1+a^{2}}+\frac {1}{1+b^{2}}$的值为1.

答案： 10.1

[变式] (2024·巴蜀中学模拟改编)已知$ab≠1$,且$5a^{2}+2025a+9=0,9b^{2}+2025b+5=0$,则$\frac {a}{b}=$$\frac{9}{5}$.

答案： 【变式】$\frac{9}{5}$

11. 已知$\triangle ABC$的两边$AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根,第三边$BC$的长为 5.
(1) 当$k$为何值时,$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形?
(2) 当$k$为何值时,$\triangle ABC$是等腰三角形? 请求出此时$\triangle ABC$的周长.

答案： 11.
(1)2
(2)当$k=4$或3时，$\triangle ABC$是等腰三角形；当$k=4$时，$\triangle ABC$的周长为16，当$k=3$时，$\triangle ABC$的周长为14