《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图,已知四边形 ABCD 为中心对称图形,各顶点的坐标分别为$A(0,4),B(2,0),C(8,3),D(6,7)$.若直线$y=kx+1$将该四边形分成面积相等的两部分,则 k 的值为$\frac{5}{8}$.

答案： $\frac{5}{8}$

10.如图,点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心,$AD＞AB$,E,F 是边 AB 上的点,G,H 是边 BC 上的点,且$EF=\frac {4}{7}AB,GH=\frac {2}{9}BC$.若$S_{1},S_{2}$分别表示$△EOF$和$△GOH$的面积,则$\frac {S_{1}}{S_{2}}=$$\frac{18}{7}$.

答案： $\frac{18}{7}$

11.如图,在$5×5$的方格中,小正方形的边长为 1 个单位长度,每个小正方形的顶点叫做格点.请按下列要求画出符合题意的四边形,且顶点在格点上.
(1)在图 1 中画出是中心对称图形,但不是轴对称图形,且面积为 8 的四边形;
(2)在图 2 中画出是轴对称图形,但不是中心对称图形,且面积为 20 的四边形;
(3)在图 3 中画出既不是中心对称图形又不是轴对称图形,且面积为 10 的四边形;
(4)在图 4 中画出既是中心对称图形又是轴对称图形,且各边长都是无理数,面积为 10 的四边形.

答案： 答案略

12.如图,在$△ABC$中,已知$AB=BC=2\sqrt {3},∠ABC=120^{\circ },△CDE$为等边三角形,$CD=2$,连接 AD,M 为 AD 的中点,连接 BM,EM.
(1)如图 1,当 B,C,E 三点共线时,请画出$△EDM$关于点 M 的中心对称图形,判断 BM 与 ME 的位置关系是____$BM\perp ME$.
(2)如图 2,当 A,C,E 三点共线时,连接 BE,(1)中的结论是否成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
证明**：延长$BM$交$DE$于点$F$。
因为$M$是$AD$的中点，所以$AM = DM$。
因为$\angle BAC=\angle BCA = 30^{\circ}$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，$A$，$C$，$E$三点共线，所以$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD = 30^{\circ}+ 90^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle ADE = 30^{\circ}$，则$\angle BAD=\angle ADE$。
在$\triangle ABM$和$\triangle DFM$中，$\begin{cases}\angle BAM=\angle FDM\\AM = DM\\\angle AMB=\angle DMF\end{cases}$，所以$\triangle ABM\cong\triangle DFM(ASA)$。
所以$BM = FM$，$AB = DF$。
又因为$AB = BC$，$\triangle CDE$是等边三角形，所以$BC = DF$，$CE = DE$，则$BE = FE$。
所以$BM\perp ME$（等腰三角形三线合一）。
(3)如图 3,取 BE 的中点 N,连接 MN,将$△CDE$绕点 C 旋转,求旋转过程中线段 MN 的取值范围.
$\sqrt{3}-1\leqslant MN\leqslant\sqrt{3}+1$

答案： $(1)$
$BM\perp ME$
$(2)$
证明**：延长$BM$交$DE$于点$F$。
因为$M$是$AD$的中点，所以$AM = DM$。
因为$\angle BAC=\angle BCA = 30^{\circ}$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，$A$，$C$，$E$三点共线，所以$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD = 30^{\circ}+ 90^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle ADE = 30^{\circ}$，则$\angle BAD=\angle ADE$。
在$\triangle ABM$和$\triangle DFM$中，$\begin{cases}\angle BAM=\angle FDM\\AM = DM\\\angle AMB=\angle DMF\end{cases}$，所以$\triangle ABM\cong\triangle DFM(ASA)$。
所以$BM = FM$，$AB = DF$。
又因为$AB = BC$，$\triangle CDE$是等边三角形，所以$BC = DF$，$CE = DE$，则$BE = FE$。
所以$BM\perp ME$（等腰三角形三线合一）。
$(3)$
延长$BM$到点$F$，使$MF = BM$，连接$DF$，$EF$。
由$(2)$可知$\triangle ABM\cong\triangle DFM$，所以$AB = DF$，$\angle ABM=\angle DFM$，则$AB// DF$。
因为$AB = BC$，$CD = DE$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，$\angle CDE = 60^{\circ}$，所以$\angle BCD+\angle DCE+\angle CEF+\angle FED=\angle BCD + 60^{\circ}+\angle CEF+\angle FED$，$\angle BCD+\angle ACD = 150^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CDF = 150^{\circ}$，$\angle CDF+\angle FDE+\angle DEC+\angle ECB=\angle CDF + 60^{\circ}+\angle DEC+\angle ECB$，可得$\angle BCE=\angle FDE$。
所以$\triangle BCE\cong\triangle FDE(SAS)$，则$BE = FE$，$\angle BEC=\angle FED$，所以$\angle BEF=\angle CED = 60^{\circ}$，$\triangle BEF$是等边三角形。
因为$N$是$BE$中点，$M$是$BF$中点，所以$MN=\frac{1}{2}EF$。
当$C$，$E$，$B$共线且$E$在$BC$延长线上时，$BE = BC + CE=2\sqrt{3}+ 2$，$EF = BE=2\sqrt{3}+ 2$，$MN=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}+ 2)=\sqrt{3}+ 1$；
当$C$，$E$，$B$共线且$E$在$CB$延长线上时，$BE = CE - BC=2 - 2\sqrt{3}$（舍去长度为负），当$B$，$C$，$E$构成三角形时，由三角形三边关系$\vert BC - CE\vert\lt BE\lt BC + CE$，即$2\sqrt{3}-2\lt BE\lt2\sqrt{3}+2$，$EF = BE$，$MN=\frac{1}{2}BE$。
所以$\sqrt{3}-1\leqslant MN\leqslant\sqrt{3}+1$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{BM\perp ME}$；$(2)$成立，证明如上；$(3)$$\boldsymbol{\sqrt{3}-1\leqslant MN\leqslant\sqrt{3}+1}$。