《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

8. 在平面直角坐标系中，将二次函数$y=(x + 1)^{2}+3$的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（B）
A. $y=(x + 3)^{2}+2$
B. $y=(x - 1)^{2}+2$
C. $y=(x - 1)^{2}+4$
D. $y=(x + 3)^{2}+4$

答案： 8. B

9. 将二次函数$y = x^{2}$的图象平移或翻折后经过点$(2,0)$有以下4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度.
其中正确的个数为（D）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 9. D

10. (2024·长春)若抛物线$y = x^{2}-x + c$（$c$是常数）与$x$轴没有交点，则$c$的取值范围是$c＞\frac {1}{4}$.

答案： 10. $c＞\frac {1}{4}$

11. (2025九龙坡区阶段练习)函数$y = x^{2}+bx + c$与$y = x$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$x^{2}+bx ＜ x - c$的解集是$1＜x＜3$.

答案： 11. $1＜x＜3$

12. (2024·江津区月考)已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+mx - m^{2}+1$($m$为常数，$m ＞ 0$)的图象经过点$A(2,3)$.
(1)求$m$的值；
(2)判断二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+mx - m^{2}+1$的图象与直线$y = -5$有几个交点，并说明理由.

答案： $(1)$求$m$的值
解：
因为二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+mx - m^{2}+1$的图象经过点$A(2,3)$，
所以把$x = 2$，$y = 3$代入二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+mx - m^{2}+1$中，可得：
$3=\frac{1}{2}\times2^{2}+2m - m^{2}+1$
即$3 = 2 + 2m - m^{2}+1$
化简得$m^{2}-2m=0$
因式分解得$m(m - 2)=0$
解得$m_{1}=0$，$m_{2}=2$
又因为$m\gt0$，所以$m = 2$。
$(2)$判断二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+mx - m^{2}+1$的图象与直线$y = - 5$的交点个数
解：
由$(1)$知$m = 2$，则二次函数为$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x - 4 + 1=\frac{1}{2}x^{2}+2x - 3$。
令$\frac{1}{2}x^{2}+2x - 3=-5$，
移项得$\frac{1}{2}x^{2}+2x + 2 = 0$，
方程两边同时乘以$2$得$x^{2}+4x + 4 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，
在方程$x^{2}+4x + 4 = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c = 4$，
则$\Delta=4^{2}-4\times1\times4$
$=16 - 16$
$=0$。
因为$\Delta = 0$，所以二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x - 3$的图象与直线$y = - 5$有$1$个交点。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{m = 2}$；$(2)$有$\boldsymbol{1}$个交点。

13. 如图，用长为12m的铝合金型材制作一个“日”字形的窗框$ABCD$，则制成的窗框的最大透光面积为（B）
A. $4m^{2}$
B. $6m^{2}$
C. $12m^{2}$
D. $16m^{2}$

答案： 13. B

14. 如图，一名学生推铅球，铅球在行进过程中的高度$y$(单位：$m$)与水平距离$x$(单位：$m$)之间的关系式是$y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4)$，则铅球推出的距离$OA=$10$m$.

答案： 14. 10

15. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量$y$(个)与销售价格$x$(元/个)的关系如图所示，当$10\leqslant x\leqslant20$时，其图象是线段$AB$，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元.(利润$=$总销售额$-$总成本)

答案： 15. 121