《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 下列图形中，不能由下图经过旋转得到的是（C）

答案： C

2. 如图，将$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ADE$，此时点$B$的对应点$D$恰好落在边$BC$上，已知$AB = 2$，$DE = 4$，则$CD$的长为（B）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

3. （2025·重庆八中期中）如图所示，在等腰三角形$ABC$中，$AB = BC$，将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$AD$，连接$BD$，$CD$，取$CD$的中点$G$，连接$BG$。若$\angle ABC=\alpha$，则$\angle CBG$可以表示为（D）

A. $120^{\circ}-\alpha$
B. $45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}$
C. $60^{\circ}-\frac{\alpha}{3}$
D. $\frac{\alpha}{2}-30^{\circ}$

答案： D

4. （易错）在$\triangle ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$旋转$30^{\circ}$后与$\triangle AB_{1}C_{1}$重合，则$\angle BAC_{1}$的度数为$105^{\circ}$或$45^{\circ}$。

答案： $105^{\circ}$或$45^{\circ}$

5. （2025·巴蜀中学开学考试）如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 4$，将矩形$ABCD$绕点$A$逆时针旋转，得到矩形$AEFG$，点$B$的对应点$E$落在$CD$上，且$DE = EF$，则四边形$ABCE$的面积为$16\sqrt{2}-8$。

答案： $16\sqrt{2}-8$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 105^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转得到$\triangle AB'C'$。若点$B'$恰好落在边$BC$上，且$AB = CB'$，则$\angle AB'C'$的度数为$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

7. （2024·广元改编）如图，将$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ADE$，点$B$，$C$的对应点分别为$D$，$E$，连接$CE$，点$D$恰好落在线段$CE$上。若$CD = 3$，$BC = 1$，则$AD$的长为$\sqrt{5}$。

答案： $\sqrt{5}$

8. （教材P63习题T10变式）如图，$D$是等边三角形$ABC$内一点，将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$后得到线段$AE$，连接$CD$，$BE$。
（1）求证：$\triangle AEB\cong\triangle ADC$；
（2）连接$DE$，若$\angle ADC = 105^{\circ}$，求$\angle BED$的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle BAC=60^{\circ}$。
又因为线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$后得到线段$AE$，所以$AE = AD$，$\angle EAD = 60^{\circ}$。
则$\angle BAC=\angle EAD$，即$\angle BAC-\angle BAD=\angle EAD - \angle BAD$，所以$\angle EAB=\angle DAC$。
在$\triangle AEB$和$\triangle ADC$中：
$\begin{cases}AE = AD\\\angle EAB=\angle DAC\\AB = AC\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AEB\cong\triangle ADC$。
2. （2）解：
因为$AE = AD$，$\angle EAD = 60^{\circ}$，所以$\triangle ADE$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，$\angle AED=\angle ADE = 60^{\circ}$。
因为$\triangle AEB\cong\triangle ADC$，所以$\angle AEB=\angle ADC$。
已知$\angle ADC = 105^{\circ}$，则$\angle AEB = 105^{\circ}$。
所以$\angle BED=\angle AEB-\angle AED$。
把$\angle AEB = 105^{\circ}$，$\angle AED = 60^{\circ}$代入可得：$\angle BED=105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle AEB\cong\triangle ADC$；（2）$\angle BED$的度数为$45^{\circ}$。