《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

活动1 [阅读与思考]下面是小牛同学的部分日记,请仔细阅读并解决问题:
二次函数的应用
××××年××月××日
今天在数学活动学习过程中遇到一个问题.下面是两个两位数相乘的运算(两个乘数的十位上的数字都是2,个位上的数字的和为10):21×29,22×28,23×27,…,27×23,28×22,29×21.请你猜想乘积最大的是______×______,并说明理由.
猜想:乘积最大的是25×25.理由如下:
设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数字为x,则另一个乘数的个位上的数字为10-x.
根据题意,得y=(20+x)[20+(10-x)]=(20+x)(30-x)=-(x+20)(x-30)……
(1)日记中的分析过程主要运用的数学思想是D.
A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.函数思想
(2)请补全小牛同学的日记中的解题过程.
解：
$\begin{aligned}y&=(20 + x)(30 - x)\\&=-x^{2}+30x - 20x+600\\&=-x^{2}+10x + 600\\&=-(x^{2}-10x)+600\\&=-(x^{2}-10x + 25 - 25)+600\\&=-[(x - 5)^{2}-25]+600\\&=-(x - 5)^{2}+25 + 600\\&=-(x - 5)^{2}+625\end{aligned}$
因为$-1\lt0$，所以当$x = 5$时，$y$有最大值$625$，此时两个乘数分别为$20 + 5=25$，$20+(10 - 5)=25$，即乘积最大的是$25×25$。
(3)下面是两个三位数相乘的运算(两个乘数的百位上的数字都是8,十位上的数字与个位上的数字组成的两位数的和为100):801×899,802×898,803×897,…,897×803,898×802,899×801.用以上方法猜想其中哪个乘积最大,并说明理由.
解：猜想乘积最大的是$850×850$。
理由如下：
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数十位与个位组成的两位数为$x$，则另一个乘数十位与个位组成的两位数为$100 - x$。
根据题意，得$y=(800 + x)[800+(100 - x)]=(800 + x)(900 - x)$
$\begin{aligned}y&=(800 + x)(900 - x)\\&=-x^{2}+900x - 800x+720000\\&=-x^{2}+100x + 720000\\&=-(x^{2}-100x)+720000\\&=-(x^{2}-100x + 2500 - 2500)+720000\\&=-[(x - 50)^{2}-2500]+720000\\&=-(x - 50)^{2}+2500 + 720000\\&=-(x - 50)^{2}+722500\end{aligned}$
因为$-1\lt0$，所以当$x = 50$时，$y$有最大值$722500$，此时两个乘数分别为$800 + 50=850$，$800+(100 - 50)=850$，即乘积最大的是$850×850$。

答案： $(1)$答案
日记中通过设未知数$x$，建立函数$y=(20 + x)(30 - x)$来分析乘积的最大值，主要运用的数学思想是函数思想，所以答案选$\boldsymbol{D}$。
$(2)$解题过程补全
解：
$\begin{aligned}y&=(20 + x)(30 - x)\\&=-x^{2}+30x - 20x+600\\&=-x^{2}+10x + 600\\&=-(x^{2}-10x)+600\\&=-(x^{2}-10x + 25 - 25)+600\\&=-[(x - 5)^{2}-25]+600\\&=-(x - 5)^{2}+25 + 600\\&=-(x - 5)^{2}+625\end{aligned}$
因为$-1\lt0$，所以当$x = 5$时，$y$有最大值$625$，此时两个乘数分别为$20 + 5=25$，$20+(10 - 5)=25$，即乘积最大的是$25×25$。
$(3)$猜想与理由
解：猜想乘积最大的是$850×850$。
理由如下：
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数十位与个位组成的两位数为$x$，则另一个乘数十位与个位组成的两位数为$100 - x$。
根据题意，得$y=(800 + x)[800+(100 - x)]=(800 + x)(900 - x)$
$\begin{aligned}y&=(800 + x)(900 - x)\\&=-x^{2}+900x - 800x+720000\\&=-x^{2}+100x + 720000\\&=-(x^{2}-100x)+720000\\&=-(x^{2}-100x + 2500 - 2500)+720000\\&=-[(x - 50)^{2}-2500]+720000\\&=-(x - 50)^{2}+2500 + 720000\\&=-(x - 50)^{2}+722500\end{aligned}$
因为$-1\lt0$，所以当$x = 50$时，$y$有最大值$722500$，此时两个乘数分别为$800 + 50=850$，$800+(100 - 50)=850$，即乘积最大的是$850×850$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{D}$；$(2)$见上述补全过程；$(3)$乘积最大的是$\boldsymbol{850×850}$，理由见上述过程。