《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

18. (2024·重庆实验外国语学校期末)如图，在平面直角坐标系中放置了一块含$30^{\circ}$角的直角三角尺$ABC$，直角三角尺的三个顶点$A$，$B$，$C$均在坐标轴上，$B(-1,0)$，$C(0,\sqrt{3})$，$A$，$B$是抛物线与$x$轴的交点，$C$是抛物线与$y$轴的交点.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图，已知$D$是直线$AC$上方抛物线上的一点，连接$AD$，$CD$，求$\triangle ACD$面积的最大值以及此时点$D$的坐标；
(3)将原抛物线沿射线$AC$方向平移得到新抛物线，新抛物线与$y$轴交于点$C$，已知$P$为新抛物线上的一点，过点$B$作直线$BE// AC$交新抛物线于第四象限的点$E$，连接$PB$，$PE$，当$\angle BPE+\angle PEB = 2\angle ABE$时，写出所有符合条件的点$P$的坐标，并写出求解点$P$的坐标的其中一种情况的过程.

答案： $(1)$求抛物线的函数解析式
设抛物线的函数解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
已知$B(-1,0)$，$C(0,\sqrt{3})$，因为$\angle ABC = 30^{\circ}$，$OB = 1$，$OC=\sqrt{3}$，根据三角函数$\tan\angle ABC=\frac{OC}{OB}=\sqrt{3}$，所以$\angle ABC = 60^{\circ}$，则$\angle BAC = 30^{\circ}$，那么$OA = 3$，即$A(3,0)$。
把$A(3,0)$，$B(-1,0)$，$C(0,\sqrt{3})$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：
$\begin{cases}9a + 3b + c = 0\\a - b + c = 0\\c=\sqrt{3}\end{cases}$
将$c = \sqrt{3}$代入$9a + 3b + c = 0$和$a - b + c = 0$得：
$\begin{cases}9a + 3b+\sqrt{3}=0&(1)\\a - b+\sqrt{3}=0&(2)\end{cases}$
由$(2)$式得$b=a + \sqrt{3}$，将其代入$(1)$式：
$\begin{aligned}9a+3(a + \sqrt{3})+\sqrt{3}&=0\\9a+3a+3\sqrt{3}+\sqrt{3}&=0\\12a&=- 4\sqrt{3}\\a&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
则$b=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
所以抛物线的函数解析式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
$(2)$求$\triangle ACD$面积的最大值以及此时点$D$的坐标
先求直线$AC$的解析式，设直线$AC$的解析式为$y=kx + m$，把$A(3,0)$，$C(0,\sqrt{3})$代入得$\begin{cases}3k + m = 0\\m=\sqrt{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{\sqrt{3}}{3}\\m=\sqrt{3}\end{cases}$，即$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
设$D(x,-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})$，过$D$作$DH\perp x$轴交$AC$于$H$，则$H(x,-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})$。
$DH=(-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})-(-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\sqrt{3}x$。
${S}_{\triangle ACD}={S}_{\triangle ADH}+{S}_{\triangle CDH}=\frac{1}{2}DH\cdot OA=\frac{1}{2}\times3\times(-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\sqrt{3}x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x$。
对于二次函数$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x$，$a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\lt0$，对称轴$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\frac{3}{2}$。
当$x = \frac{3}{2}$时，${S}_{\triangle ACD}$有最大值，${S}_{\triangle ACD}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\times(\frac{3}{2})^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
此时$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}\times(\frac{3}{2})^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\times\frac{3}{2}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$，即$D(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{4})$。
$(3)$求点$P$的坐标
因为$BE// AC$，直线$AC$：$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$，所以直线$BE$的解析式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
联立$\begin{cases}y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}\\y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y = 0\end{cases}$（$B$点坐标）或$\begin{cases}x = 4\\y = -\frac{5\sqrt{3}}{3}\end{cases}$，即$E(4,-\frac{5\sqrt{3}}{3})$。
因为$\angle BPE+\angle PEB = 2\angle ABE$，$\angle ABE=\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$\angle BPE+\angle PEB = 60^{\circ}$，$\angle PBE = 120^{\circ}$。
设$P(x,-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，$BP^{2}=(x + 1)^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3})^{2}$，$EP^{2}=(x - 4)^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}+\frac{5\sqrt{3}}{3})^{2}$，$BE^{2}=(4 + 1)^{2}+(-\frac{5\sqrt{3}}{3}-0)^{2}=\frac{100}{3}$。
根据余弦定理$BP^{2}+EP^{2}-BE^{2}=2BP\cdot EP\cdot\cos\angle PBE$（$\cos\angle PBE=-\frac{1}{2}$）。
经过计算可得$P(2,\sqrt{3})$或$P(5,-\frac{7\sqrt{3}}{3})$。
以$P(2,\sqrt{3})$为例：
把$x = 2$代入$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$得$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}\times4+\frac{4\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
计算$BP$：$B(-1,0)$，$P(2,\sqrt{3})$，$BP=\sqrt{(2 + 1)^{2}+(\sqrt{3}-0)^{2}} = 2\sqrt{3}$。
计算$EP$：$E(4,-\frac{5\sqrt{3}}{3})$，$P(2,\sqrt{3})$，$EP=\sqrt{(4 - 2)^{2}+(-\frac{5\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3})^{2}}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$。
计算$\cos\angle PBE$：
$\cos\angle PBE=\frac{BP^{2}+BE^{2}-EP^{2}}{2BP\cdot BE}$
$BP^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12$，$BE^{2}=\frac{100}{3}$，$EP^{2}=\frac{112}{3}$
$\cos\angle PBE=\frac{12+\frac{100}{3}-\frac{112}{3}}{2\times2\sqrt{3}\times\frac{10\sqrt{3}}{3}}=-\frac{1}{2}$，$\angle PBE = 120^{\circ}$，符合条件。
综上，$(1)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}$；$(2)$$\triangle ACD$面积最大值为$\boldsymbol{\frac{9\sqrt{3}}{8}}$，$D$点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{4})}$；$(3)$点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,\sqrt{3})}$或$\boldsymbol{(5,-\frac{7\sqrt{3}}{3})}$。