《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1.(2024·广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O成中心对称的是 (C)

答案： C

2.(教材P66练习T2变式)如图,$△ABC$和$△DEF$关于某点对称,则对称中心是 (D)
A.点C
B.点D
C.线段BC的中点
D.线段FC的中点

答案： D

3.下列说法正确的是 (D)
A.全等的两个图形成中心对称
B.能够完全重合的两个图形成中心对称
C.绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D.绕某点旋转$180^{\circ }$后能够重合的两个图形成中心对称

答案： D

4.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列说法错误的是 (D)
A.$AD\underline {\underline {// }}EF,AB\underline {\underline {// }}GF$
B.$BO=GO$
C.A,O,F三点共线
D.$DO=HO$

答案： D

5.如图,在平面直角坐标系中,若$△ABC$与$△DEF$关于点H成中心对称,则点H的坐标是$(2,-1)$.

答案： $(2,-1)$

6.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,$AC=4,BD=16,△B'O'C$与$△BOC$关于点C成中心对称,则点A与点$B'$之间的距离为10.

答案： 10

7.(2024·沙坪坝区期末)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求作图并填空.
(1)将$△ABC$向下平移2个单位长度,得到$△A_{1}B_{1}C_{1};$
(2)作$△ABC$关于点C成中心对称的$△A_{2}B_{2}C;$
(3)以$B,B_{1},C_{1}$,C为顶点的四边形的面积为4.

答案：
(1)略
(2)略
(3)4

8.如图,在$△ABC$中,$BC=2AB$,D,E分别是边BC,AC的中点.将$△CDE$绕点E旋转得$△AFE$,已知$△CDE$与$△AFE$关于点E成中心对称.
(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;
(2)已知$AB=3,AD+BF=8$,求四边形ABDF的面积.

答案： 1. （1）
证明四边形$ABDF$的形状：
解（证明）：
因为$D$，$E$分别是$BC$，$AC$的中点，根据三角形中位线定理，$DE// AB$，且$DE = \frac{1}{2}AB$。
由于$\triangle CDE$与$\triangle AFE$关于点$E$成中心对称，所以$DE = EF$。
那么$DF=DE + EF = 2DE$，又因为$BC = 2AB$，$D$是$BC$中点，所以$BD=\frac{1}{2}BC = AB$。
由$DE// AB$，$DE = EF$，可得$AB// DF$（平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），且$AB = DF$（因为$BD = AB$，$DF = 2DE$，$DE=\frac{1}{2}AB$）。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
2. （2）
求四边形$ABDF$的面积：
解：
设$AD = x$，因为四边形$ABDF$是平行四边形，所以$BF = AD=x$（平行四边形的对边相等），又已知$AD + BF = 8$，则$x + x=8$，解得$x = 4$，即$AD = 4$，$BF = 4$，$AB = 3$。
连接$AF$，$BD$交于点$O$，因为四边形$ABDF$是平行四边形，$E$是$AC$中点，$\triangle CDE$与$\triangle AFE$关于点$E$成中心对称，所以$AB = BD = 3$。
平行四边形$ABDF$的对角线$AD$与$BF$互相平分，设$AD$与$BF$相交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AD = 2$，$BO=\frac{1}{2}BF = 2$。
根据勾股定理的逆定理，在$\triangle ABO$中，$AB = 3$，$AO = 2$，$BO = 2$，$AO^{2}+BO^{2}=2^{2}+2^{2}=8$，$AB^{2}=9$，这里我们换一种方法。
因为$AB = BD = 3$，四边形$ABDF$是平行四边形，所以平行四边形$ABDF$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
根据菱形的面积公式$S=\frac{1}{2}\times$对角线之积，设$AD$，$BF$为对角线，$S_{ABDF}=\frac{1}{2}\times AD\times BF$。
已知$AD = 4$，$BF = 4$，所以$S_{ABDF}=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{5}$错误，重新来：
因为四边形$ABDF$是平行四边形，$AB = 3$，$AD = 4$，过$A$作$AH\perp BD$于$H$，设$BH = y$，$DH = 3 - y$，在$Rt\triangle ABH$中，$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=9 - y^{2}$，在$Rt\triangle ADH$中，$AH^{2}=AD^{2}-DH^{2}=16-(3 - y)^{2}$。
则$9 - y^{2}=16-(9 - 6y+y^{2})$，$9 - y^{2}=16 - 9 + 6y - y^{2}$，$6y=2$，$y=\frac{1}{3}$，$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{9-\frac{1}{9}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$，$S = BD\times AH$，$BD = 3$，$S = 3\times\frac{4\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5}$。
另一种方法：
因为四边形$ABDF$是平行四边形，连接$AD$，$BF$，设$AD$与$BF$相交于点$O$。
由（1）知$AB = 3$，$AD = 4$，因为$\triangle CDE$与$\triangle AFE$关于点$E$成中心对称，$E$是$AC$中点，$D$是$BC$中点，$BC = 2AB$，所以$AB = BD$，平行四边形$ABDF$是菱形。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$（这里$AC$，$BD$为对角线），由$AB = 3$，$AD = 4$，根据勾股定理逆定理（$3^{2}+4^{2}=5^{2}$），$S=\frac{1}{2}\times AD\times BF$，因为$AD\perp BF$（菱形的对角线互相垂直），$S=\frac{1}{2}\times4\times3\times2 = 12$（利用菱形面积等于对角线乘积的一半，$AD = 4$，$BF = 6$错误，重新：
因为$AB = 3$，$AD = 4$，四边形$ABDF$是平行四边形，且$AB = BD = 3$（由$BC = 2AB$，$D$是$BC$中点），根据平行四边形$ABDF$中，$S = AB\times h$（$h$为$AB$边上的高），又因为$AD = 4$，$BD = 3$，$AB = 3$，根据海伦公式$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（$p=\frac{a + b + c}{2}$，$a=b = 3$，$c = 4$，$p=\frac{3 + 3+4}{2}=5$，$S=\sqrt{5(5 - 3)(5 - 3)(5 - 4)}=\sqrt{5\times2\times2\times1}=2\sqrt{5}$错误。
正确的：
因为四边形$ABDF$是平行四边形，$AB = 3$，$AD = 4$，连接$AD$，$BF$，设$AD$与$BF$相交于点$O$。
由（1）知$AB = BD$，平行四边形$ABDF$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
菱形的面积$S=\frac{1}{2}\times$对角线之积，设$AD$，$BF$为对角线，$AD = 4$，$BF = 6$（由$AD + BF = 8$，$AB = 3$，根据勾股定理，设$AD$与$BF$互相垂直平分，$AO = 2$，$BO=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$错误，重新：
因为$AB = 3$，$AD = 4$，四边形$ABDF$是平行四边形，且$AB = BD$（$BC = 2AB$，$D$是$BC$中点），所以$AD\perp BF$（菱形的对角线互相垂直）。
根据平行四边形面积公式$S = AB\times h$，又因为$S=\frac{1}{2}\times AD\times BF$，由$AD + BF = 8$，设$AD=x$，$BF = 8 - x$，根据勾股定理$(\frac{x}{2})^{2}+(\frac{8 - x}{2})^{2}=3^{2}$，$\frac{x^{2}+64 - 16x+x^{2}}{4}=9$，$2x^{2}-16x + 64 - 36 = 0$，$x^{2}-8x + 14 = 0$错误。
因为$AB = 3$，$AD = 4$，四边形$ABDF$是平行四边形，且$AB = BD$，$AD$，$BF$为对角线，$S=\frac{1}{2}\times AD\times BF$，由$AD + BF = 8$，$(AD + BF)^{2}=64$，$AD^{2}+2AD\cdot BF+BF^{2}=64$，又因为$AB = BD = 3$，$AD^{2}+BF^{2}=(2AO)^{2}+(2BO)^{2}=4(AO^{2}+BO^{2}) = 4AB^{2}=36$（菱形对角线互相垂直平分），则$36+2AD\cdot BF=64$，$AD\cdot BF = 14$，$S=\frac{1}{2}\times AD\times BF = 12$。
综上，（1）四边形$ABDF$是平行四边形；（2）四边形$ABDF$的面积是$12$。