《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图，在$\square ABCD$中，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 AD 于点 F，交 BC 于点 G，BA 的延长线交$\odot A$于点 E。求证：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。

答案：
证明:如图，连接AG.
　　　　　　　　
在$\square ABCD$中,$\because AD// BC$,
$\therefore \angle GAF=\angle AGB,\angle B=\angle EAF$.
又$\because AB=AG,\therefore \angle AGB=\angle B$,
$\therefore \angle EAF=\angle GAF,\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.

10. 如图，AB 是$\odot O$的直径，$∠BOD=120^{\circ }$，C 为$\overset{\frown}{BD}$的中点，AC 交 OD 于点 E，$DE=1$，则 AE 的长为（A）
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$2\sqrt {3}$
D.$2\sqrt {5}$

答案： 1. 首先，连接$OC$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，$\angle BOD = 120^{\circ}$，所以$\angle AOD=180^{\circ}-\angle BOD = 60^{\circ}$。
又因为$C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\angle BOC=\angle DOC=\frac{1}{2}\angle BOD = 60^{\circ}$。
由于$OA = OC$（半径相等），$\angle AOC=\angle AOD+\angle DOC=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$，且$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA=\frac{180^{\circ}-\angle AOC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$\angle AOD = 60^{\circ}$，在$\triangle AOE$中，$\angle AEO=180^{\circ}-\angle OAC-\angle AOD$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。
2. 然后，设$OE = x$：
因为$OA = OD$（半径相等），$OD=OE + DE$，$DE = 1$，所以$OA=OD=x + 1$。
在$Rt\triangle AOE$中，根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$OA = 2OE$（在$Rt\triangle$中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
即$x + 1=2x$，解得$x = 1$。
所以$OE = 1$，$OA=OD=2$。
3. 最后，求$AE$的长：
根据勾股定理$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$（在$Rt\triangle AOE$中，$AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}$，其中$OA$为斜边，$OE$和$AE$为直角边）。
把$OA = 2$，$OE = 1$代入$AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}$，得$AE=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
所以$AE$的长为$\sqrt{3}$，答案是A。

11. 如图，在半径为 5 的$\odot O$中，AB，CD 是互相垂直且相等的两条弦，垂足为 P，且$OP=3\sqrt {2}$，则弦 AB 的长为8。

答案： 8

12. 如图，AB 为$\odot O$的弦，半径 OC，OD 分别交 AB 于点 E，F，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$。
（1）求证：$AE=BF$。
（2）过点 O 作$ON⊥AB$，交 AB 于点 M，交$\odot O$于点 N。若$AB=12$，$MN=3$，求 OM 的长。

答案： 1. （1）证明：
连接$OA$，$OB$。
因为$OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA$。
又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$，所以$\angle AOC=\angle BOD$。
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle OAE=\angle OBF\\OA = OB\\\angle AOE=\angle BOF\end{array}\right.$（$\angle AOE=\angle AOC+\angle COE$，$\angle BOF=\angle BOD+\angle DOF$，这里$\angle COE$与$\angle DOF$是同一个角）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle OAE\cong\triangle OBF$。
所以$AE = BF$。
2. （2）解：
设$OM=x$，因为$ON\perp AB$，根据垂径定理，$AM=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 12$，则$AM=\frac{1}{2}\times12 = 6$。
又因为$ON = OM + MN$，$MN = 3$，所以$OA=ON=x + 3$。
在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}$。
即$(x + 3)^{2}=x^{2}+6^{2}$。
展开$(x + 3)^{2}$得$x^{2}+6x + 9=x^{2}+36$。
移项可得$x^{2}+6x - x^{2}=36 - 9$。
合并同类项得$6x=27$。
解得$x=\frac{9}{2}$。
所以（1）得证$AE = BF$；（2）$OM$的长为$\frac{9}{2}$。

13. 如图，MN 是$\odot O$的直径，A 是半圆上的三等分点，B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点，P 是直径 MN 上的一动点。若$MN=2\sqrt {2}$，求$PA+PB$的最小值。

答案： 2